Calcolatore Equazioni di Secondo Grado
Inserisci i coefficienti a, b e c per risolvere ax² + bx + c = 0 con la formula risolutiva — ottieni le radici reali o complesse, il discriminante, il vertice e l'asse di simmetria, con ogni passaggio mostrato.
- 01Risolvi istantaneamente qualsiasi equazione di secondo grado ax² + bx + c = 0 con la formula risolutiva.
- 02Ottieni automaticamente due radici reali, una radice doppia o una coppia complessa coniugata.
- 03Visualizza il discriminante b² − 4ac e cosa ti dice sulla natura delle radici.
- 04Trova il vertice della parabola e l'asse di simmetria con un solo clic.
- 05Visualizza lo svolgimento passo dopo passo che sostituisce i tuoi valori nella formula risolutiva.
- 06100% gratuito e privato — ogni calcolo viene eseguito nel tuo browser.
Calcolatore Equazioni di Secondo Grado
Inserisci i coefficienti di ax² + bx + c = 0
1x² + −3x + 2 = 0
Prova un'equazione di esempio
Radice x₁
2
Soluzione reale di ax² + bx + c = 0
Radice x₂
1
Soluzione reale di ax² + bx + c = 0
Discriminante (b² − 4ac)
1
Natura delle Radici
Due radici reali distinte
Asse di Simmetria
x = 1.5
Vertice (h, k)
(1.5, −0.25)
Vertice x (h)
1.5
Vertice y (k)
−0.25
Coefficiente a
1
Coefficiente b
−3
Calcolo passo dopo passo
- 01Formula risolutiva: x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a
- 02Sostituisci i valori: x = (−(−3) ± √((−3)² − 4 · 1 · 2)) ÷ (2 · 1)
- 03Discriminante b² − 4ac = (−3)² − 4 · 1 · 2 = 1
- 04Due radici reali: x₁ = 2, x₂ = 1
Perché Usare Questo Calcolatore di Equazioni di Secondo Grado
Radici Reali e Complesse
Il calcolatore rileva automaticamente se la tua equazione di secondo grado ha due radici reali distinte, una radice reale doppia o una coppia complessa coniugata, e formatta in modo chiaro le radici complesse come p ± q i. Ottieni sempre le radici corrette dell'equazione di secondo grado, qualunque sia il discriminante.
Formula Risolutiva Passo dopo Passo
Vedi esattamente come viene applicata la formula risolutiva: la formula stessa, i tuoi valori di a, b e c sostituiti, il discriminante b² − 4ac e le radici finali. Perfetto per i compiti a casa, il ripasso per gli esami e per verificare il tuo lavoro quando risolvi un'equazione di secondo grado.
Discriminante e Natura delle Radici
Il calcolatore del discriminante calcola b² − 4ac e ti dice cosa significa: maggiore di zero dà due radici reali, uguale a zero dà una radice doppia e minore di zero dà radici complesse. Comprendere il discriminante è fondamentale per padroneggiare le equazioni di secondo grado.
Vertice e Asse di Simmetria
Oltre alle radici, il calcolatore trova il vertice della parabola (h, k) e l'asse di simmetria x = −b ÷ 2a, così puoi disegnare il grafico di y = ax² + bx + c e comprenderne la forma a colpo d'occhio.
Istantaneo e Privato
Tutto viene eseguito interamente nel tuo browser senza comunicazioni con il server. La tua equazione non lascia mai il tuo dispositivo, i risultati appaiono istantaneamente come dovrebbe fare un risolutore di equazioni di secondo grado e non è richiesta alcuna registrazione o installazione.
Gratuito e Senza Limiti
Risolvi tutte le equazioni di secondo grado di cui hai bisogno — nessun limite giornaliero, nessun account e nessun pagamento. Il calcolatore completo con la formula risolutiva è totalmente gratuito.
Cos'è un'Equazione di Secondo Grado?
Un'equazione di secondo grado è qualsiasi equazione che può essere scritta nella forma standard ax² + bx + c = 0, dove a, b e c sono costanti e a non è zero. I valori di x che soddisfano l'equazione si chiamano radici o soluzioni, e un'equazione di secondo grado ha sempre esattamente due radici (che possono essere uguali, o possono essere complesse). Le equazioni di secondo grado compaiono ovunque in algebra, fisica, ingegneria ed economia.
Che tu sia uno studente che impara come risolvere le equazioni di secondo grado, un insegnante che prepara esempi o un ingegnere che verifica un calcolo, questo calcolatore di equazioni di secondo grado fornisce risultati istantanei, passo dopo passo, con la formula risolutiva per qualsiasi valore di a, b e c.
- La Formula Risolutiva
- La formula risolutiva x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a risolve qualsiasi equazione di secondo grado direttamente dai suoi coefficienti. Questo calcolatore usa la formula risolutiva e mostra ogni sostituzione, così puoi seguire esattamente come vengono trovate le radici dell'equazione di secondo grado.
- Il Discriminante
- Il discriminante è la parte sotto la radice quadrata, b² − 4ac. Determina la natura delle radici: se è positivo ci sono due radici reali distinte, se è zero c'è una radice reale doppia, e se è negativo ci sono due radici complesse coniugate. Un calcolatore del discriminante è il modo più rapido per classificare un'equazione di secondo grado prima di risolverla.
- Radici Reali e Complesse
- Quando il discriminante è negativo, la radice quadrata di un numero negativo è immaginaria, quindi le radici sono numeri complessi scritti come p ± q i, dove la parte reale p è uguale a −b ÷ 2a e l'ampiezza immaginaria q è uguale a √(−(b² − 4ac)) ÷ 2a. Il calcolatore formatta automaticamente queste radici coniugate per te.
- Vertice, Asse di Simmetria e la Parabola
- Il grafico di un'equazione di secondo grado è una parabola. Il suo vertice si trova in x = −b ÷ 2a con y = c − b² ÷ 4a, e l'asse di simmetria è la retta verticale x = −b ÷ 2a passante per quel vertice. Sapere come risolvere le equazioni di secondo grado insieme al vertice rende molto più semplici i problemi di rappresentazione grafica e di ottimizzazione.
Come Usare il Calcolatore di Equazioni di Secondo Grado
- 01
Scrivi la tua equazione in forma standard
Riordina la tua equazione in modo che tutto sia su un lato e si presenti come ax² + bx + c = 0. Ad esempio, x² = 3x − 2 diventa x² − 3x + 2 = 0, dando a = 1, b = −3 e c = 2. Ricorda che a non deve essere zero affinché l'equazione sia di secondo grado.
- 02
Inserisci i coefficienti a, b e c
Digita il coefficiente a (il numero davanti a x²), b (il numero davanti a x) e il termine noto c nelle tre caselle di input. Sono supportati decimali e numeri negativi, quindi funziona qualsiasi equazione di secondo grado.
- 03
Clicca Risolvi
Premi il pulsante Risolvi. Il calcolatore con la formula risolutiva calcola il discriminante, applica la formula risolutiva e restituisce le radici — reali o complesse — istantaneamente nel tuo browser.
- 04
Leggi le radici e i passaggi
Le schede principali mostrano le radici dell'equazione di secondo grado. Sotto di esse ottieni il discriminante, la natura delle radici, il vertice e l'asse di simmetria, oltre a una sezione passo dopo passo che mostra i tuoi valori sostituiti nella formula risolutiva. Ottimo per imparare e per verificare i compiti a casa.
Consigli per Risolvere le Equazioni di Secondo Grado
Usa Sempre la Forma Standard
Prima di leggere a, b e c, sposta ogni termine su un lato in modo che l'equazione sia uguale a zero. Confondere i segni dei coefficienti è l'errore più comune quando si risolve un'equazione di secondo grado con la formula risolutiva.
Controlla Prima il Discriminante
Calcola b² − 4ac prima di ogni altra cosa. Il segno del discriminante ti dice immediatamente se aspettarti due radici reali, una radice doppia o una coppia complessa coniugata, il che ti aiuta a verificare la plausibilità della risposta finale.
Attenzione al Segno di b
La formula risolutiva inizia con −b, quindi una b negativa diventa positiva all'interno della formula. Racchiudere b tra parentesi, come in −(−3), previene errori di segno quando sostituisci i valori nella formula risolutiva.
Prova la Fattorizzazione Quando È Facile
Se l'equazione di secondo grado si fattorizza ordinatamente, la fattorizzazione può essere più rapida della formula. La formula risolutiva funziona però sempre, quindi usa questo calcolatore per confermare le radici dell'equazione di secondo grado che hai trovato per fattorizzazione.
Mantieni una Precisione Sufficiente
Evita di arrotondare troppo presto il discriminante o la sua radice quadrata — arrotondare prima del passaggio finale può introdurre errori evidenti. Arrotonda solo le radici finali per la presentazione.
Usa il Vertice per il Grafico
Una volta che hai le radici e il vertice, puoi disegnare rapidamente la parabola: l'asse di simmetria passa per il vertice e le radici sono dove la curva interseca l'asse x.
Definizioni della Formula Risolutiva e Formule Chiave
Definizione di equazione di secondo grado
Un'equazione di secondo grado è un'equazione polinomiale di secondo grado della forma ax² + bx + c = 0 con a ≠ 0. Le sue soluzioni, chiamate radici, sono i valori di x in cui la parabola y = ax² + bx + c interseca l'asse x.
Cosa ti dice il discriminante
- Discriminante > 0: due radici reali distinte (la parabola interseca l'asse x due volte).
- Discriminante = 0: una radice reale doppia (la parabola tocca l'asse x nel vertice).
- Discriminante < 0: due radici complesse coniugate (la parabola non interseca l'asse x).
- Il discriminante b² − 4ac è il modo più rapido per classificare le radici di un'equazione di secondo grado.
Modi per risolvere un'equazione di secondo grado
Puoi risolvere un'equazione di secondo grado per fattorizzazione, completando il quadrato o con la formula risolutiva. La formula risolutiva funziona sempre per qualsiasi a, b e c, ed è per questo che questo calcolatore la usa.
Formule Chiave delle Equazioni di Secondo Grado
Forma standard
ax² + bx + c = 0, a ≠ 0
Esempio: x² − 3x + 2 = 0 ha a = 1, b = −3, c = 2.
Formula risolutiva
x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a
Fornisce entrambe le radici direttamente dai coefficienti.
Discriminante
Δ = b² − 4ac
Determina se le radici sono reali, doppie o complesse.
Radici complesse
x = (−b ÷ 2a) ± (√(−(b² − 4ac)) ÷ 2a) i
Usata quando il discriminante è negativo; le radici sono coniugate.
Vertice della parabola
(−b ÷ 2a, c − b² ÷ 4a)
Il punto di svolta di y = ax² + bx + c.
Asse di simmetria
x = −b ÷ 2a
La retta verticale passante per il vertice.
FAQ sul Calcolatore di Equazioni di Secondo Grado
Q01Come si risolve un'equazione di secondo grado?
Scrivi l'equazione nella forma standard ax² + bx + c = 0, quindi applica la formula risolutiva x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a. Calcola il discriminante b² − 4ac, estrai la sua radice quadrata e valuta i due valori di x. Questo calcolatore esegue tutti questi passaggi per te, applica la formula risolutiva e mostra lo svolgimento così puoi imparare come risolvere le equazioni di secondo grado.
Q02Cos'è la formula risolutiva?
La formula risolutiva è x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a. Fornisce entrambe le radici di qualsiasi equazione di secondo grado ax² + bx + c = 0 direttamente dai coefficienti a, b e c, dove a non è zero. Il simbolo ± significa che la valuti una volta con il più e una volta con il meno per ottenere le due radici.
Q03Cos'è il discriminante e cosa mi dice?
Il discriminante è b² − 4ac, l'espressione sotto la radice quadrata nella formula risolutiva. Se è positivo l'equazione ha due radici reali distinte, se è zero ha una radice reale doppia, e se è negativo ha due radici complesse coniugate. Un calcolatore del discriminante classifica le radici prima di risolvere l'equazione.
Q04Cosa sono le radici complesse di un'equazione di secondo grado?
Quando il discriminante b² − 4ac è negativo, la radice quadrata è immaginaria, quindi le radici sono numeri complessi scritti come p ± q i. La parte reale p è uguale a −b ÷ 2a e l'ampiezza immaginaria q è uguale a √(−(b² − 4ac)) ÷ 2a. Le due radici complesse sono coniugate l'una dell'altra, e questo calcolatore le formatta automaticamente.
Q05Perché a non deve essere zero?
Se a è uguale a zero non c'è alcun termine x², quindi l'equazione ax² + bx + c = 0 si riduce all'equazione lineare bx + c = 0, che non è di secondo grado. La formula risolutiva divide per 2a, quindi a = 0 non è definito. Questo calcolatore restituisce un errore quando a è zero.
Q06Come trovo il vertice e l'asse di simmetria?
Il vertice della parabola y = ax² + bx + c si trova in x = −b ÷ 2a, e trovi la sua coordinata y sostituendo nuovamente quel valore di x, il che dà y = c − b² ÷ 4a. L'asse di simmetria è la retta verticale x = −b ÷ 2a passante per il vertice. Il calcolatore riporta entrambi per ogni equazione.
Q07Posso inserire decimali e coefficienti negativi?
Sì. Puoi inserire numeri interi, decimali e numeri negativi per a, b e c. Il calcolatore li analizza tutti, quindi qualsiasi equazione di secondo grado — comprese quelle con coefficienti frazionari o negativi — può essere risolta con la formula risolutiva.
Q08I miei dati vengono inviati a un server?
No. Il risolutore di equazioni di secondo grado viene eseguito interamente nel tuo browser usando JavaScript. I tuoi coefficienti non vengono mai caricati o memorizzati da nessuna parte, quindi è sicuro da usare per qualsiasi compito a casa o problema di lavoro.
Q09Questo calcolatore di equazioni di secondo grado è gratuito?
Sì, è completamente gratuito senza limiti, senza registrazione e senza versione premium. Risolvi tutte le equazioni di secondo grado che vuoi con il calcolatore della formula risolutiva.