Konfidenzintervall Rechner
Geben Sie den Stichprobenmittelwert, die Standardabweichung, den Stichprobenumfang und das Konfidenzniveau ein, um das Konfidenzintervall für den Mittelwert, die Fehlermarge, den Standardfehler und den kritischen z-Wert zu berechnen — mit jedem einzelnen Schritt.
- 01Berechnen Sie sofort ein 90-%-, 95-%- oder 99-%-Konfidenzintervall für den Mittelwert.
- 02Erhalten Sie die Fehlermarge, den Standardfehler und den kritischen z-Wert mit einem Klick.
- 03Sehen Sie die Konfidenzintervall-Formel Schritt für Schritt ausgearbeitet.
- 04Wählen Sie aus gängigen Konfidenzniveaus von 80 % bis 99,9 %.
- 05100 % kostenlos und privat — jede Berechnung läuft in Ihrem Browser.
Konfidenzintervall Rechner
95 % Konfidenzintervall
[94.632319, 105.367681]
Schätzung des Mittelwerts: 100 ± 5.367681
Fehlermarge (ME)
5.367681
Standardfehler (SE)
2.738613
Kritischer z-Wert
1.96
Konfidenzniveau
95%
Untere Grenze
94.632319
Obere Grenze
105.367681
Stichprobenmittelwert (x̄)
100
Stichprobenumfang (n)
30
Schritt-für-Schritt-Berechnung
- 01Bestimmen Sie den kritischen z-Wert für ein 95-%-Konfidenzniveau: z = 1.96
- 02Standardfehler SE = s ÷ √n = 15 ÷ √30 = 2.738613
- 03Fehlermarge ME = z × SE = 1.96 × 2.738613 = 5.367681
- 04Konfidenzintervall = x̄ ± ME = 100 ± 5.367681 = [94.632319, 105.367681]
Warum diesen Konfidenzintervall Rechner verwenden
Konfidenzintervall für den Mittelwert
Geben Sie den Stichprobenmittelwert, die Standardabweichung und den Stichprobenumfang ein, um sofort das Konfidenzintervall für den Populationsmittelwert zu erhalten. Der Rechner gibt die untere und obere Grenze zurück, sodass Sie den plausiblen Bereich für den wahren Mittelwert auf Ihrem gewählten Konfidenzniveau kennen.
Fehlermarge inklusive
Dieser Konfidenzintervall Rechner dient zugleich als Fehlermarge-Rechner: Er gibt die Fehlermarge (z × Standardfehler) direkt an, sodass Sie Ihre Schätzung als Mittelwert ± Fehlermarge ausdrücken und genau sehen können, wie breit das Intervall ist.
Wählen Sie Ihr Konfidenzniveau
Wählen Sie aus gängigen Konfidenzniveaus — 80 %, 85 %, 90 %, 95 %, 98 %, 99 % und 99,9 % — jedes seinem kritischen Standard-z-Wert zugeordnet. Wechseln Sie zwischen einem 90-%-, 95-%- oder 99-%-Konfidenzintervall, um zu sehen, wie das Niveau die Breite des Intervalls verändert.
Schritt-für-Schritt-Rechenweg
Sehen Sie die Konfidenzintervall-Formel Schritt für Schritt angewendet: den kritischen z-Wert, den Standardfehler des Mittelwerts, die Fehlermarge und das endgültige Intervall. Perfekt für Statistik-Hausaufgaben, die Prüfungsvorbereitung und das Überprüfen Ihrer eigenen Berechnungen.
Sofort und privat
Alles läuft vollständig in Ihrem Browser ohne Server-Kommunikation. Ihre Zahlen verlassen niemals Ihr Gerät, die Ergebnisse erscheinen sofort, und es ist keine Anmeldung oder Installation erforderlich.
Kostenlos und ohne Limits
Berechnen Sie so viele Konfidenzintervalle wie Sie benötigen — keine täglichen Limits, kein Konto und keine Bezahlschranke. Der vollständige KI-Rechner ist komplett kostenlos nutzbar.
Was ist ein Konfidenzintervall?
Ein Konfidenzintervall ist ein Wertebereich, der aus Stichprobendaten berechnet wird und wahrscheinlich den wahren Wert eines Populationsparameters enthält — am häufigsten den Populationsmittelwert. Ein 95-%-Konfidenzintervall bedeutet zum Beispiel, dass etwa 95 % der auf diese Weise konstruierten Intervalle den wahren Mittelwert enthalten würden, wenn Sie den Stichprobenprozess viele Male wiederholten. Die Breite des Intervalls wird durch die Fehlermarge gesteuert, die vom Standardfehler und dem gewählten Konfidenzniveau abhängt.
Ob Sie ein Schüler sind, der schließende Statistik lernt, ein Forscher, der Ergebnisse angibt, oder ein Analyst, der Unsicherheit quantifiziert — dieser Konfidenzintervall Rechner liefert sofortige Schritt-für-Schritt-Schätzungen des Mittelwerts und seiner Fehlermarge für jede Stichprobe.
- Die Konfidenzintervall-Formel
- Für einen Mittelwert ist das Konfidenzintervall x̄ ± z × (s ÷ √n), wobei x̄ der Stichprobenmittelwert, s die Standardabweichung, n der Stichprobenumfang und z der kritische Wert für Ihr Konfidenzniveau ist. Dieser Rechner verwendet das z-Intervall (Normalverteilung), das für große Stichproben oder bei bekannter Populationsstandardabweichung σ geeignet ist.
- Fehlermarge und Standardfehler
- Der Standardfehler des Mittelwerts ist s ÷ √n, und die Fehlermarge ist der kritische z-Wert multipliziert mit dem Standardfehler. Ein größerer Stichprobenumfang verringert den Standardfehler und verengt damit das Konfidenzintervall, was eine genauere Schätzung des Mittelwerts ergibt.
- Konfidenzniveau und der z-Wert
- Höhere Konfidenzniveaus verwenden größere kritische z-Werte, die breitere Intervalle erzeugen. Gängige z-Werte sind 1,645 für 90 %, 1,96 für 95 % und 2,576 für 99 %. Es gibt immer einen Kompromiss: Mehr Konfidenz bedeutet ein breiteres, weniger genaues Intervall für dieselben Daten.
- z-Intervall vs. t-Intervall
- Dieses Tool berechnet das z-Konfidenzintervall, das voraussetzt, dass die Stichprobenverteilung des Mittelwerts annähernd normal ist — gültig für große Stichproben (üblicherweise n ≥ 30) oder bei bekanntem σ. Für kleine Stichproben mit unbekannter Populationsstandardabweichung verwenden Sie das t-Intervall, das z durch einen kritischen t-Wert auf Basis von n − 1 Freiheitsgraden ersetzt, um ein etwas breiteres, konservativeres Intervall zu erzeugen.
So verwenden Sie den Konfidenzintervall Rechner
- 01
Geben Sie den Stichprobenmittelwert ein
Tippen Sie Ihren Stichprobenmittelwert (x̄) in das erste Feld. Dies ist der Durchschnitt Ihrer Stichprobendaten und der Mittelpunkt des Konfidenzintervalls.
- 02
Geben Sie die Standardabweichung und den Stichprobenumfang ein
Geben Sie die Standardabweichung (s oder σ) Ihrer Daten und den Stichprobenumfang (n) ein. Zusammen mit dem Konfidenzniveau bestimmen diese den Standardfehler und die Fehlermarge.
- 03
Wählen Sie ein Konfidenzniveau
Wählen Sie ein Konfidenzniveau aus dem Dropdown-Menü — zum Beispiel 95 %. Der Rechner ordnet ihm automatisch den passenden kritischen z-Wert zu (etwa 1,96 für 95 %).
- 04
Lesen Sie das Konfidenzintervall
Klicken Sie auf Berechnen, um das Konfidenzintervall als [untere, obere] Grenze zu sehen, zusammen mit der Fehlermarge, dem Standardfehler und dem z-Wert sowie einer Schritt-für-Schritt-Aufschlüsselung der Konfidenzintervall-Formel.
Tipps zur Berechnung von Konfidenzintervallen
Verwenden Sie z für große Stichproben
Das z-Konfidenzintervall ist geeignet, wenn die Stichprobe groß ist (üblicherweise n ≥ 30) oder wenn die Populationsstandardabweichung bekannt ist. Für kleine Stichproben mit unbekanntem σ wechseln Sie zum t-Intervall für ein genaueres Ergebnis.
Größere Stichproben, engere Intervalle
Da der Standardfehler s ÷ √n ist, verkleinert ein größerer Stichprobenumfang die Fehlermarge und verengt das Konfidenzintervall. Eine Vervierfachung von n halbiert die Fehlermarge etwa.
Passen Sie das Konfidenzniveau an die Bedeutung an
Ein 99-%-Konfidenzintervall ist breiter als ein 95-%-Intervall für dieselben Daten. Wählen Sie ein höheres Konfidenzniveau nur, wenn das Verfehlen des wahren Wertes kostspielig wäre, und akzeptieren Sie den breiteren, weniger genauen Bereich, der damit einhergeht.
Geben Sie die Fehlermarge an
Drücken Sie Ihr Ergebnis als Mittelwert ± Fehlermarge aus, damit Leser sowohl die Punktschätzung als auch ihre Unsicherheit sehen können. Die Fehlermarge ist oft intuitiver als die rohen Intervallgrenzen allein.
Überprüfen Sie Ihre Annahmen
Ein Konfidenzintervall für den Mittelwert setzt voraus, dass die Daten eine Zufallsstichprobe sind und, bei kleinen Stichproben, dass die zugrunde liegende Verteilung annähernd normal ist. Die Verletzung dieser Annahmen kann das Intervall irreführend machen.
Interpretieren Sie es richtig
Ein 95-%-Konfidenzintervall bedeutet nicht, dass es eine 95-%-Wahrscheinlichkeit gibt, dass der wahre Mittelwert in genau diesem einen Intervall liegt. Es bedeutet, dass 95 % der auf diese Weise erstellten Intervalle über viele Stichproben hinweg den wahren Mittelwert erfassen würden.
Formeln und Definitionen des Konfidenzintervalls
Definition eines Konfidenzintervalls
Ein Konfidenzintervall ist ein Bereich plausibler Werte für einen Populationsparameter, geschätzt aus Stichprobendaten. Für einen Mittelwert ist es auf den Stichprobenmittelwert zentriert und erstreckt sich in jede Richtung um die Fehlermarge, wobei die Breite durch das Konfidenzniveau festgelegt wird.
Was ein Konfidenzintervall Ihnen sagt
- Einen plausiblen Bereich für den wahren Populationsmittelwert angesichts Ihrer Stichprobe.
- Wie genau Ihre Schätzung ist — engere Intervalle bedeuten mehr Genauigkeit.
- Die Fehlermarge, die mit dem Stichprobenmittelwert verbundene Unsicherheit.
- Wie die Wahl des Konfidenzniveaus (90 %, 95 %, 99 %) Genauigkeit gegen Konfidenz abwägt.
z-Intervall vs. t-Intervall — welches verwenden
Verwenden Sie das z-Intervall (Normalverteilung) für große Stichproben (üblicherweise n ≥ 30) oder eine bekannte Populationsstandardabweichung σ. Verwenden Sie das t-Intervall, mit einem kritischen t-Wert auf n − 1 Freiheitsgraden, für kleine Stichproben, wenn σ unbekannt ist.
Wichtige Formeln für Konfidenzintervalle
Standardfehler des Mittelwerts
SE = s ÷ √n
Beispiel: 15 ÷ √30 ≈ 2,739.
Fehlermarge
ME = z × SE
Beispiel: 1,96 × 2,739 ≈ 5,368 für ein 95-%-Intervall.
Konfidenzintervall für den Mittelwert
x̄ ± z × (s ÷ √n)
Untere Grenze = x̄ − ME, Obere Grenze = x̄ + ME.
Kritische z-Werte
90 % → 1,645, 95 % → 1,96, 99 % → 2,576
Größere z-Werte ergeben breitere Intervalle mit höherer Konfidenz.
t-Intervall (kleine Stichproben)
x̄ ± t(n−1) × (s ÷ √n)
Verwenden, wenn σ unbekannt und die Stichprobe klein ist.
Häufige Fragen zum Konfidenzintervall Rechner
Q01Wie berechne ich ein Konfidenzintervall für den Mittelwert?
Bestimmen Sie den Standardfehler, indem Sie die Standardabweichung durch die Quadratwurzel des Stichprobenumfangs teilen (SE = s ÷ √n). Multiplizieren Sie den Standardfehler mit dem kritischen z-Wert für Ihr Konfidenzniveau, um die Fehlermarge zu erhalten (ME = z × SE). Das Konfidenzintervall ist der Stichprobenmittelwert plus und minus die Fehlermarge: x̄ ± ME. Dieser Rechner führt jeden Schritt für Sie aus und zeigt den Rechenweg.
Q02Wie lautet die Konfidenzintervall-Formel?
Für einen Mittelwert mit dem z-Intervall (Normalverteilung) lautet die Formel x̄ ± z × (s ÷ √n), wobei x̄ der Stichprobenmittelwert, s die Standardabweichung, n der Stichprobenumfang und z der kritische Wert für das Konfidenzniveau ist. Das Intervall reicht von x̄ − Fehlermarge bis x̄ + Fehlermarge.
Q03Welchen z-Wert sollte ich für ein 95-%-Konfidenzintervall verwenden?
Für ein 95-%-Konfidenzintervall ist der zweiseitige kritische z-Wert 1,96. Andere gängige Werte sind 1,645 für 90 %, 2,326 für 98 %, 2,576 für 99 % und 3,291 für 99,9 %. Dieser Rechner wählt den korrekten z-Wert automatisch, wenn Sie ein Konfidenzniveau wählen.
Q04Was ist die Fehlermarge?
Die Fehlermarge ist der Betrag, der zum Stichprobenmittelwert addiert und von ihm subtrahiert wird, um das Konfidenzintervall zu bilden. Sie entspricht dem kritischen z-Wert multipliziert mit dem Standardfehler (ME = z × s ÷ √n). Ein größerer Stichprobenumfang oder ein niedrigeres Konfidenzniveau erzeugt eine kleinere Fehlermarge.
Q05Wann sollte ich ein z-Intervall statt eines t-Intervalls verwenden?
Verwenden Sie das z-Konfidenzintervall, das dieser Rechner berechnet, wenn die Stichprobe groß ist (üblicherweise n ≥ 30) oder die Populationsstandardabweichung σ bekannt ist. Verwenden Sie das t-Intervall — das z durch einen kritischen t-Wert auf Basis von n − 1 Freiheitsgraden ersetzt — für kleine Stichproben mit unbekanntem σ. Das t-Intervall ist etwas breiter und konservativer.
Q06Wie wirkt sich der Stichprobenumfang auf das Konfidenzintervall aus?
Ein größerer Stichprobenumfang verringert den Standardfehler (s ÷ √n) und verengt damit das Konfidenzintervall, was eine genauere Schätzung des Mittelwerts ergibt. Wegen der Quadratwurzel benötigen Sie etwa den vierfachen Stichprobenumfang, um die Fehlermarge zu halbieren.
Q07Wie sollte ich ein 95-%-Konfidenzintervall interpretieren?
Ein 95-%-Konfidenzintervall bedeutet, dass etwa 95 % der resultierenden Intervalle den wahren Populationsmittelwert enthalten würden, wenn Sie den Stichproben- und Intervallbildungsprozess viele Male wiederholten. Es bedeutet nicht, dass es eine 95-%-Wahrscheinlichkeit gibt, dass der wahre Mittelwert in genau dieses Intervall fällt.
Q08Werden meine Daten an einen Server gesendet?
Nein. Der Rechner läuft vollständig in Ihrem Browser mit JavaScript. Ihre Eingaben werden niemals hochgeladen oder irgendwo gespeichert, sodass die Nutzung mit privaten oder sensiblen Daten sicher ist.
Q09Ist dieser Konfidenzintervall Rechner kostenlos?
Ja, er ist vollständig kostenlos ohne Limits, ohne Anmeldung und ohne Premium-Version. Berechnen Sie so viele Konfidenzintervalle und Fehlermargen, wie Sie möchten.