Rechner für quadratische Gleichungen
Geben Sie die Koeffizienten a, b und c ein, um ax² + bx + c = 0 mit der Mitternachtsformel zu lösen — erhalten Sie die reellen oder komplexen Lösungen, die Diskriminante, den Scheitelpunkt und die Symmetrieachse, mit jedem einzelnen Schritt.
- 01Lösen Sie jede quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0 sofort mit der Mitternachtsformel.
- 02Erhalten Sie automatisch zwei reelle Lösungen, eine doppelte Lösung oder ein komplex konjugiertes Paar.
- 03Sehen Sie die Diskriminante b² − 4ac und was sie über die Art der Lösungen aussagt.
- 04Finden Sie den Scheitelpunkt der Parabel und die Symmetrieachse mit einem Klick.
- 05Sehen Sie den Schritt-für-Schritt-Rechenweg, der Ihre Werte in die Mitternachtsformel einsetzt.
- 06100 % kostenlos und privat — jede Berechnung läuft in Ihrem Browser.
Rechner für quadratische Gleichungen
Geben Sie die Koeffizienten von ax² + bx + c = 0 ein
1x² + −3x + 2 = 0
Probieren Sie eine Beispielgleichung
Lösung x₁
2
Reelle Lösung von ax² + bx + c = 0
Lösung x₂
1
Reelle Lösung von ax² + bx + c = 0
Diskriminante (b² − 4ac)
1
Art der Lösungen
Zwei verschiedene reelle Lösungen
Symmetrieachse
x = 1.5
Scheitelpunkt (h, k)
(1.5, −0.25)
Scheitelpunkt x (h)
1.5
Scheitelpunkt y (k)
−0.25
Koeffizient a
1
Koeffizient b
−3
Schritt-für-Schritt-Berechnung
- 01Mitternachtsformel: x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a
- 02Setzen Sie die Werte ein: x = (−(−3) ± √((−3)² − 4 · 1 · 2)) ÷ (2 · 1)
- 03Diskriminante b² − 4ac = (−3)² − 4 · 1 · 2 = 1
- 04Zwei reelle Lösungen: x₁ = 2, x₂ = 1
Warum diesen Rechner für quadratische Gleichungen verwenden
Reelle und komplexe Lösungen
Der Rechner erkennt automatisch, ob Ihre quadratische Gleichung zwei verschiedene reelle Lösungen, eine doppelte reelle Lösung oder ein komplex konjugiertes Paar hat, und formatiert komplexe Lösungen sauber als p ± q i. Sie erhalten immer die korrekten Lösungen der quadratischen Gleichung, unabhängig von der Diskriminante.
Mitternachtsformel Schritt für Schritt
Sehen Sie genau, wie die Mitternachtsformel angewendet wird: die Formel selbst, Ihre eingesetzten Werte für a, b und c, die Diskriminante b² − 4ac und die endgültigen Lösungen. Perfekt für Hausaufgaben, die Prüfungsvorbereitung und das Überprüfen Ihrer eigenen Arbeit beim Lösen einer quadratischen Gleichung.
Diskriminante und Art der Lösungen
Der Diskriminanten-Rechner berechnet b² − 4ac und sagt Ihnen, was sie bedeutet: größer als null ergibt zwei reelle Lösungen, gleich null ergibt eine doppelte Lösung, und kleiner als null ergibt komplexe Lösungen. Das Verständnis der Diskriminante ist der Schlüssel zur Beherrschung quadratischer Gleichungen.
Scheitelpunkt und Symmetrieachse
Über die Lösungen hinaus findet der Rechner den Scheitelpunkt der Parabel (h, k) und die Symmetrieachse x = −b ÷ 2a, sodass Sie den Graphen von y = ax² + bx + c skizzieren und seine Form auf einen Blick verstehen können.
Sofort und privat
Alles läuft vollständig in Ihrem Browser ohne Server-Kommunikation. Ihre Gleichung verlässt niemals Ihr Gerät, die Ergebnisse erscheinen sofort, wie es ein Löser für quadratische Gleichungen tun sollte, und es ist keine Anmeldung oder Installation erforderlich.
Kostenlos und ohne Limits
Lösen Sie so viele quadratische Gleichungen wie Sie benötigen — keine täglichen Limits, kein Konto und keine Bezahlschranke. Der vollständige Rechner für die Mitternachtsformel ist komplett kostenlos.
Was ist eine quadratische Gleichung?
Eine quadratische Gleichung ist jede Gleichung, die sich in der Standardform ax² + bx + c = 0 schreiben lässt, wobei a, b und c Konstanten sind und a nicht null ist. Die Werte von x, die die Gleichung erfüllen, heißen Lösungen oder Nullstellen, und eine quadratische Gleichung hat immer genau zwei Lösungen (die gleich oder komplex sein können). Quadratische Gleichungen kommen überall in Algebra, Physik, Technik und Wirtschaft vor.
Ob Sie ein Schüler sind, der lernt, wie man quadratische Gleichungen löst, ein Lehrer, der Beispiele vorbereitet, oder ein Ingenieur, der eine Berechnung überprüft — dieser Rechner für quadratische Gleichungen liefert sofortige Schritt-für-Schritt-Ergebnisse mit der Mitternachtsformel für beliebige Werte von a, b und c.
- Die Mitternachtsformel
- Die Mitternachtsformel x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a löst jede quadratische Gleichung direkt aus ihren Koeffizienten. Dieser Rechner verwendet die Mitternachtsformel und zeigt jede Einsetzung, sodass Sie genau nachvollziehen können, wie die Lösungen der quadratischen Gleichung gefunden werden.
- Die Diskriminante
- Die Diskriminante ist der Teil unter der Wurzel, b² − 4ac. Sie entscheidet über die Art der Lösungen: Ist sie positiv, gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen, ist sie null, gibt es eine doppelte reelle Lösung, und ist sie negativ, gibt es zwei komplex konjugierte Lösungen. Ein Diskriminanten-Rechner ist der schnellste Weg, eine quadratische Gleichung vor dem Lösen einzuordnen.
- Reelle vs. komplexe Lösungen
- Wenn die Diskriminante negativ ist, ist die Quadratwurzel einer negativen Zahl imaginär, sodass die Lösungen komplexe Zahlen sind, geschrieben als p ± q i, wobei der Realteil p gleich −b ÷ 2a und der Imaginärbetrag q gleich √(−(b² − 4ac)) ÷ 2a ist. Der Rechner formatiert diese konjugierten Lösungen automatisch für Sie.
- Scheitelpunkt, Symmetrieachse und die Parabel
- Der Graph einer quadratischen Gleichung ist eine Parabel. Ihr Scheitelpunkt liegt bei x = −b ÷ 2a mit y = c − b² ÷ 4a, und die Symmetrieachse ist die senkrechte Gerade x = −b ÷ 2a durch diesen Scheitelpunkt. Zu wissen, wie man quadratische Gleichungen löst, macht zusammen mit dem Scheitelpunkt das Zeichnen von Graphen und Optimierungsprobleme deutlich einfacher.
So verwenden Sie den Rechner für quadratische Gleichungen
- 01
Schreiben Sie Ihre Gleichung in der Standardform
Ordnen Sie Ihre Gleichung so um, dass alles auf einer Seite steht und sie ax² + bx + c = 0 lautet. Zum Beispiel wird x² = 3x − 2 zu x² − 3x + 2 = 0, was a = 1, b = −3 und c = 2 ergibt. Denken Sie daran, dass a nicht null sein darf, damit die Gleichung quadratisch ist.
- 02
Geben Sie die Koeffizienten a, b und c ein
Tippen Sie den Koeffizienten a (die Zahl vor x²), b (die Zahl vor x) und die Konstante c in die drei Eingabefelder. Dezimalzahlen und negative Zahlen werden unterstützt, sodass jede quadratische Gleichung funktioniert.
- 03
Klicken Sie auf Lösen
Drücken Sie die Lösen-Schaltfläche. Der Rechner für die Mitternachtsformel berechnet die Diskriminante, wendet die Mitternachtsformel an und gibt die Lösungen — reell oder komplex — sofort in Ihrem Browser zurück.
- 04
Lesen Sie die Lösungen und die Schritte
Die Übersichtskarten zeigen die Lösungen der quadratischen Gleichung. Darunter erhalten Sie die Diskriminante, die Art der Lösungen, den Scheitelpunkt und die Symmetrieachse sowie einen Schritt-für-Schritt-Bereich, der Ihre in die Mitternachtsformel eingesetzten Werte zeigt. Ideal zum Lernen und zum Überprüfen von Hausaufgaben.
Tipps zum Lösen quadratischer Gleichungen
Verwenden Sie immer die Standardform
Bevor Sie a, b und c ablesen, verschieben Sie jeden Term auf eine Seite, sodass die Gleichung gleich null ist. Die Vorzeichen der Koeffizienten zu verwechseln ist der häufigste Fehler, wenn man eine quadratische Gleichung mit der Mitternachtsformel löst.
Prüfen Sie zuerst die Diskriminante
Berechnen Sie b² − 4ac vor allem anderen. Das Vorzeichen der Diskriminante sagt Ihnen sofort, ob Sie zwei reelle Lösungen, eine doppelte Lösung oder ein komplex konjugiertes Paar erwarten dürfen, was Ihnen hilft, die endgültige Antwort auf Plausibilität zu prüfen.
Achten Sie auf das Vorzeichen von b
Die Mitternachtsformel beginnt mit −b, sodass ein negatives b innerhalb der Formel positiv wird. b in Klammern zu setzen, wie in −(−3), verhindert Vorzeichenfehler beim Einsetzen der Werte in die Mitternachtsformel.
Versuchen Sie zu faktorisieren, wenn es einfach ist
Wenn sich die quadratische Gleichung sauber faktorisieren lässt, kann das Faktorisieren schneller sein als die Formel. Die Mitternachtsformel funktioniert jedoch immer, verwenden Sie also diesen Rechner, um die durch Faktorisieren gefundenen Lösungen der quadratischen Gleichung zu bestätigen.
Behalten Sie genügend Genauigkeit
Vermeiden Sie es, die Diskriminante oder ihre Quadratwurzel zu früh zu runden — das Runden vor dem letzten Schritt kann merkliche Fehler verursachen. Runden Sie nur die endgültigen Lösungen für die Angabe.
Verwenden Sie den Scheitelpunkt zum Zeichnen
Sobald Sie die Lösungen und den Scheitelpunkt haben, können Sie die Parabel schnell skizzieren: Die Symmetrieachse verläuft durch den Scheitelpunkt, und die Lösungen sind dort, wo die Kurve die x-Achse schneidet.
Definitionen und wichtige Formeln zur Mitternachtsformel
Definition einer quadratischen Gleichung
Eine quadratische Gleichung ist eine Polynomgleichung zweiten Grades der Form ax² + bx + c = 0 mit a ≠ 0. Ihre Lösungen, Nullstellen genannt, sind die x-Werte, an denen die Parabel y = ax² + bx + c die x-Achse schneidet.
Was die Diskriminante Ihnen sagt
- Diskriminante > 0: zwei verschiedene reelle Lösungen (die Parabel schneidet die x-Achse zweimal).
- Diskriminante = 0: eine doppelte reelle Lösung (die Parabel berührt die x-Achse im Scheitelpunkt).
- Diskriminante < 0: zwei komplex konjugierte Lösungen (die Parabel schneidet die x-Achse nicht).
- Die Diskriminante b² − 4ac ist der schnellste Weg, die Lösungen einer quadratischen Gleichung einzuordnen.
Wege, eine quadratische Gleichung zu lösen
Sie können eine quadratische Gleichung durch Faktorisieren, durch quadratische Ergänzung oder mit der Mitternachtsformel lösen. Die Mitternachtsformel funktioniert immer für beliebige a, b und c, weshalb dieser Rechner sie verwendet.
Wichtige Formeln für quadratische Gleichungen
Standardform
ax² + bx + c = 0, a ≠ 0
Beispiel: x² − 3x + 2 = 0 hat a = 1, b = −3, c = 2.
Mitternachtsformel
x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a
Liefert beide Lösungen direkt aus den Koeffizienten.
Diskriminante
Δ = b² − 4ac
Entscheidet, ob die Lösungen reell, doppelt oder komplex sind.
Komplexe Lösungen
x = (−b ÷ 2a) ± (√(−(b² − 4ac)) ÷ 2a) i
Wird verwendet, wenn die Diskriminante negativ ist; die Lösungen sind konjugiert.
Scheitelpunkt der Parabel
(−b ÷ 2a, c − b² ÷ 4a)
Der Wendepunkt von y = ax² + bx + c.
Symmetrieachse
x = −b ÷ 2a
Die senkrechte Gerade durch den Scheitelpunkt.
Häufige Fragen zum Rechner für quadratische Gleichungen
Q01Wie löse ich eine quadratische Gleichung?
Schreiben Sie die Gleichung in der Standardform ax² + bx + c = 0 und wenden Sie dann die Mitternachtsformel x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a an. Berechnen Sie die Diskriminante b² − 4ac, ziehen Sie ihre Quadratwurzel und werten Sie die beiden Werte von x aus. Dieser Rechner führt all diese Schritte für Sie aus, wendet die Mitternachtsformel an und zeigt den Rechenweg, sodass Sie lernen können, wie man quadratische Gleichungen löst.
Q02Wie lautet die Mitternachtsformel?
Die Mitternachtsformel ist x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a. Sie liefert beide Lösungen jeder quadratischen Gleichung ax² + bx + c = 0 direkt aus den Koeffizienten a, b und c, wobei a nicht null ist. Das Zeichen ± bedeutet, dass Sie sie einmal mit Plus und einmal mit Minus auswerten, um die beiden Lösungen zu erhalten.
Q03Was ist die Diskriminante und was sagt sie mir?
Die Diskriminante ist b² − 4ac, der Ausdruck unter der Wurzel in der Mitternachtsformel. Ist sie positiv, hat die Gleichung zwei verschiedene reelle Lösungen, ist sie null, hat sie eine doppelte reelle Lösung, und ist sie negativ, hat sie zwei komplex konjugierte Lösungen. Ein Diskriminanten-Rechner ordnet die Lösungen ein, bevor Sie die Gleichung lösen.
Q04Was sind komplexe Lösungen einer quadratischen Gleichung?
Wenn die Diskriminante b² − 4ac negativ ist, ist die Quadratwurzel imaginär, sodass die Lösungen komplexe Zahlen sind, geschrieben als p ± q i. Der Realteil p ist gleich −b ÷ 2a und der Imaginärbetrag q ist gleich √(−(b² − 4ac)) ÷ 2a. Die beiden komplexen Lösungen sind zueinander konjugiert, und dieser Rechner formatiert sie automatisch.
Q05Warum darf a nicht null sein?
Wenn a gleich null ist, gibt es keinen x²-Term, sodass die Gleichung ax² + bx + c = 0 zur linearen Gleichung bx + c = 0 zusammenfällt, die nicht quadratisch ist. Die Mitternachtsformel teilt durch 2a, sodass a = 0 undefiniert ist. Dieser Rechner gibt einen Fehler zurück, wenn a null ist.
Q06Wie finde ich den Scheitelpunkt und die Symmetrieachse?
Der Scheitelpunkt der Parabel y = ax² + bx + c liegt bei x = −b ÷ 2a, und Sie finden seine y-Koordinate, indem Sie dieses x wieder einsetzen, was y = c − b² ÷ 4a ergibt. Die Symmetrieachse ist die senkrechte Gerade x = −b ÷ 2a durch den Scheitelpunkt. Der Rechner gibt beide für jede Gleichung an.
Q07Kann ich Dezimalzahlen und negative Koeffizienten eingeben?
Ja. Sie können ganze Zahlen, Dezimalzahlen und negative Zahlen für a, b und c eingeben. Der Rechner liest sie alle ein, sodass jede quadratische Gleichung — auch solche mit gebrochenen oder negativen Koeffizienten — mit der Mitternachtsformel gelöst werden kann.
Q08Werden meine Daten an einen Server gesendet?
Nein. Der Löser für quadratische Gleichungen läuft vollständig in Ihrem Browser mit JavaScript. Ihre Koeffizienten werden niemals hochgeladen oder irgendwo gespeichert, sodass die Nutzung für jedes Hausaufgaben- oder Arbeitsproblem sicher ist.
Q09Ist dieser Rechner für quadratische Gleichungen kostenlos?
Ja, er ist vollständig kostenlos ohne Limits, ohne Anmeldung und ohne Premium-Version. Lösen Sie so viele quadratische Gleichungen, wie Sie möchten, mit dem Rechner für die Mitternachtsformel.