Steigung Rechner
Geben Sie zwei Punkte ein, um die Steigung einer Geraden über das Verhältnis von Höhenunterschied zu horizontaler Strecke zu finden — sowie den y-Achsenabschnitt, die Geradengleichung, den Steigungswinkel, die Distanz und den Mittelpunkt, mit jedem einzelnen Schritt.
- 01Finden Sie die Steigung einer Geraden aus zwei Punkten sofort mit der Steigungsformel m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁).
- 02Erhalten Sie automatisch den y-Achsenabschnitt und die Geradengleichung y = mx + b.
- 03Sehen Sie das Verhältnis von Höhenunterschied zu horizontaler Strecke, den Steigungswinkel in Grad, die Distanz und den Mittelpunkt mit einem Klick.
- 04Verarbeitet senkrechte Geraden (undefinierte Steigung), waagerechte Geraden, Dezimalzahlen und negative Koordinaten.
- 05100 % kostenlos und privat — jede Berechnung läuft in Ihrem Browser.
Steigung Rechner
Geben Sie zwei Punkte auf der Geraden ein
Punkt 1 (x₁, y₁)
Punkt 2 (x₂, y₂)
Probieren Sie ein Beispiel-Punktepaar
Steigung (m)
2
Höhenunterschied geteilt durch horizontale Strecke zwischen den beiden Punkten
Geradengleichung
y = 2x
Normalform y = mx + b
Höhenunterschied (Δy)
6
Horizontale Strecke (Δx)
3
Steigungswinkel
63.434949°
y-Achsenabschnitt (b)
0
Distanz
6.708204
Mittelpunkt
(2.5, 5)
Punkt-Steigungs-Form
y − 2 = 2(x − 1)
Richtung
Steigend (bergauf)
Schritt-für-Schritt-Berechnung
- 01Punkte: (x₁, y₁) = (1, 2) und (x₂, y₂) = (4, 8)
- 02Höhenunterschied (vertikale Änderung) Δy = y₂ − y₁ = 8 − 2 = 6
- 03Horizontale Strecke (horizontale Änderung) Δx = x₂ − x₁ = 4 − 1 = 3
- 04Steigung m = Höhenunterschied ÷ horizontale Strecke = 6 ÷ 3 = 2
- 05y-Achsenabschnitt b = y₁ − m·x₁ = 2 − (2)(1) = 0
- 06Geradengleichung in Normalform: y = 2x
Warum diesen Steigung Rechner verwenden
Steigung aus zwei Punkten
Geben Sie die Koordinaten beliebiger zwei Punkte ein, und der Steigung Rechner findet die Steigung der Geraden sofort mit der Steigungsformel m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁). Es ist der schnellste Weg, die Steigung oder das Gefälle einer Geraden zwischen zwei Punkten zu finden.
Vollständige Geradengleichung
Über die Steigung hinaus erhalten Sie den y-Achsenabschnitt und die vollständige Geradengleichung in Normalform y = mx + b sowie die Punkt-Steigungs-Form y − y₁ = m(x − x₁). Verwenden Sie es als Geradengleichungs-Rechner für das Zeichnen von Graphen, Algebra-Hausaufgaben und Geometrie.
Höhenunterschied zu horizontaler Strecke, veranschaulicht
Der Rechner zerlegt die Steigung in den Höhenunterschied (die vertikale Änderung, Δy) und die horizontale Strecke (die horizontale Änderung, Δx), sodass Sie genau sehen, wie das Verhältnis von Höhenunterschied zu horizontaler Strecke den Steigungswert ergibt — perfekt zum Lernen und zum Überprüfen Ihrer eigenen Arbeit.
Winkel, Distanz und Mittelpunkt
Erhalten Sie den Steigungswinkel in Grad aus atan(m), die geradlinige Distanz zwischen den beiden Punkten und den Mittelpunkt der Strecke. Ein Tool deckt Steigung, Geradengleichung, Winkel, Distanz und Mittelpunkt gemeinsam ab.
Verarbeitet jeden Fall
Senkrechte Geraden ergeben eine undefinierte Steigung, waagerechte Geraden ergeben eine Steigung von null, und Dezimalzahlen sowie negative Koordinaten werden vollständig unterstützt. Kein Sonderfall wird ausgelassen, sodass die Antwort immer korrekt ist.
Sofort, kostenlos und privat
Alles läuft in Ihrem Browser ohne Server-Kommunikation, ohne Anmeldung und ohne Limits. Ihre Koordinaten verlassen niemals Ihr Gerät, und die Ergebnisse erscheinen in dem Moment, in dem Sie auf Berechnen drücken.
Was ist die Steigung einer Geraden?
Die Steigung einer Geraden misst, wie steil sie ist — wie stark sie für jeden Schritt nach rechts ansteigt oder abfällt. Sie ist definiert als die Änderung von y (der Höhenunterschied) geteilt durch die Änderung von x (die horizontale Strecke) zwischen beliebigen zwei Punkten auf der Geraden. Eine größere Steigung bedeutet eine steilere Gerade, eine Steigung von null bedeutet eine waagerechte Gerade, und eine senkrechte Gerade hat eine undefinierte Steigung.
Ob Sie ein Schüler sind, der Algebra lernt, eine Gerade in einem Graphen zeichnet oder ein Rampen- oder Straßengefälle ausrechnet — dieser Steigung Rechner liefert sofortige Schritt-für-Schritt-Ergebnisse für beliebige zwei Punkte.
- Die Steigungsformel
- Gegeben zwei Punkte (x₁, y₁) und (x₂, y₂), ist die Steigung m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁), oft gemerkt als Höhenunterschied geteilt durch horizontale Strecke. Dieser Steigung-einer-Geraden-Rechner wendet die Formel für Sie an und zeigt jeden Schritt, sodass Sie den Rechenweg nachvollziehen können.
- Positive, negative, null und undefinierte Steigung
- Eine positive Steigung steigt von links nach rechts (bergauf), eine negative Steigung fällt von links nach rechts (bergab), eine waagerechte Gerade hat eine Steigung von null, und eine senkrechte Gerade hat eine undefinierte Steigung, weil die horizontale Strecke (Δx) null ist, was eine Division durch null bedeuten würde.
- Von der Steigung zur Geradengleichung
- Sobald Sie die Steigung kennen, beschreibt die Normalform y = mx + b die gesamte Gerade, wobei b der y-Achsenabschnitt ist (b = y₁ − m·x₁). Die Punkt-Steigungs-Form y − y₁ = m(x − x₁) ist eine andere Art, dieselbe Gerade mit der Steigung und einem Punkt zu schreiben.
- Steigung als Winkel und als Rate
- Die Steigung ist auch der Tangens des Steigungswinkels der Geraden, sodass der Winkel arctan(m) in Grad ist. Im realen Sinne ist die Steigung eine Änderungsrate — Kilometer pro Stunde, Kosten pro Einheit oder Höhenunterschied pro Meter auf einer Rampe oder einem Straßengefälle.
So verwenden Sie den Steigung Rechner
- 01
Geben Sie den ersten Punkt ein
Tippen Sie die Koordinaten Ihres ersten Punktes in die Felder x₁ und y₁. Dezimalzahlen und negative Zahlen werden unterstützt, sodass Sie beliebige zwei Punkte auf der Geraden verwenden können.
- 02
Geben Sie den zweiten Punkt ein
Tippen Sie die Koordinaten Ihres zweiten Punktes in die Felder x₂ und y₂. Die beiden Punkte müssen verschieden sein; wenn x₂ gleich x₁ ist, ist die Gerade senkrecht und die Steigung undefiniert.
- 03
Klicken Sie auf Berechnen
Drücken Sie die Berechnen-Schaltfläche. Das Tool wendet die Steigungsformel m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) an und gibt sofort die Steigung, den y-Achsenabschnitt, die Geradengleichung, den Winkel, die Distanz und den Mittelpunkt zurück.
- 04
Lesen Sie die Ergebnisse und Schritte
Die Übersichtskarten zeigen die Steigung und die Geradengleichung in Normalform. Darunter erhalten Sie den Höhenunterschied, die horizontale Strecke, den Steigungswinkel, den y-Achsenabschnitt, die Distanz und den Mittelpunkt sowie eine Schritt-für-Schritt-Aufschlüsselung von Höhenunterschied zu horizontaler Strecke zum Lernen und zum Überprüfen von Hausaufgaben.
Tipps zum Finden der Steigung einer Geraden
Behalten Sie die Reihenfolge der Punkte bei
Subtrahieren Sie die Koordinaten in derselben Reihenfolge sowohl im Zähler als auch im Nenner: (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁). Die Reihenfolge in nur einem von beiden zu vertauschen, kehrt das Vorzeichen um und ergibt die falsche Steigung.
Achten Sie auf senkrechte Geraden
Wenn die beiden x-Koordinaten gleich sind, ist die horizontale Strecke null und die Steigung undefiniert — die Gerade ist senkrecht. Das ist die häufigste Falle, weil die Division durch null nicht erlaubt ist. Der Rechner weist Sie darauf hin.
Achten Sie auf die Vorzeichen
Negative Koordinaten und bergab verlaufende Geraden erzeugen negative Steigungen. Verfolgen Sie die Vorzeichen von Höhenunterschied und horizontaler Strecke sorgfältig; eine negative Steigung bedeutet, dass die Gerade von links nach rechts abfällt.
Kürzen Sie den Bruch
Die Steigung ist oft am klarsten als gekürzter Bruch oder als Dezimalzahl. Eine Steigung von 4/2 ist dasselbe wie 2, und 6/8 kürzt sich zu 3/4 — das Kürzen macht das Verhältnis von Höhenunterschied zu horizontaler Strecke in einem Graphen leichter lesbar.
Verwenden Sie die Normalform zum Zeichnen
Sobald Sie m und den y-Achsenabschnitt b haben, zeichnen Sie den Punkt (0, b) und verwenden die Steigung als Höhenunterschied zu horizontaler Strecke, um zum nächsten Punkt zu schreiten. Die Normalform y = mx + b ist der schnellste Weg, eine Gerade von Hand zu zeichnen.
Denken Sie an die Regeln für parallel und senkrecht
Parallele Geraden haben dieselbe Steigung, während senkrechte Geraden Steigungen haben, die negative Kehrwerte sind (ihr Produkt ist −1). Wenn Sie die Steigung kennen, können Sie diese Beziehungen sofort überprüfen.
Formeln und Definitionen der Steigung
Definition der Steigung
Die Steigung (auch Gefälle genannt) misst die Steilheit und Richtung einer Geraden. Sie ist das Verhältnis der vertikalen Änderung (Höhenunterschied) zur horizontalen Änderung (horizontale Strecke) zwischen zwei Punkten, geschrieben als m = Höhenunterschied ÷ horizontale Strecke.
Was die Steigung Ihnen sagt
- Wie steil eine Gerade ist — größere Absolutwerte bedeuten eine steilere Gerade.
- Die Richtung der Geraden — positive Steigungen gehen bergauf, negative Steigungen gehen bergab.
- Die Änderungsrate von y in Bezug auf x, etwa Geschwindigkeit, Kosten pro Einheit oder Straßengefälle.
- Ob zwei Geraden parallel (gleiche Steigungen) oder senkrecht (negative Kehrwert-Steigungen) sind.
Sonderfälle der Steigung
Eine waagerechte Gerade hat eine Steigung von null, und eine senkrechte Gerade hat eine undefinierte Steigung, weil ihre horizontale Strecke null ist. Beide werden von diesem Rechner automatisch verarbeitet.
Wichtige Formeln für Steigung und Geraden
Steigung (zwei Punkte)
m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)
Beispiel: von (1, 2) zu (4, 8), m = (8 − 2) / (4 − 1) = 2.
Höhenunterschied zu horizontaler Strecke
m = Höhenunterschied ÷ horizontale Strecke = Δy ÷ Δx
Die vertikale Änderung geteilt durch die horizontale Änderung.
Normalform
y = mx + b
b ist der y-Achsenabschnitt, wo die Gerade die y-Achse schneidet.
Punkt-Steigungs-Form
y − y₁ = m(x − x₁)
Verwendet die Steigung und einen bekannten Punkt auf der Geraden.
y-Achsenabschnitt
b = y₁ − m·x₁
Lösen Sie nach b auf, sobald die Steigung und ein Punkt bekannt sind.
Steigungswinkel
θ = arctan(m)
Eine Steigung von 1 ergibt einen Winkel von 45° zur x-Achse.
Distanz zwischen Punkten
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
Die geradlinige Länge der Strecke.
Mittelpunkt
M = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2)
Der Punkt genau in der Mitte zwischen den beiden Punkten.
Häufige Fragen zum Steigung Rechner
Q01Wie finde ich die Steigung einer Geraden aus zwei Punkten?
Verwenden Sie die Steigungsformel m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁). Ziehen Sie die y-Koordinate des ersten Punktes von der y-Koordinate des zweiten ab, um den Höhenunterschied zu erhalten, ziehen Sie die x-Koordinaten in derselben Reihenfolge ab, um die horizontale Strecke zu erhalten, und teilen Sie dann den Höhenunterschied durch die horizontale Strecke. Dieser Rechner führt all diese Schritte für Sie aus und zeigt den Rechenweg.
Q02Wie lautet die Steigungsformel?
Die Steigungsformel ist m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁), wobei (x₁, y₁) und (x₂, y₂) zwei Punkte auf der Geraden sind. Sie wird gewöhnlich als Höhenunterschied zu horizontaler Strecke beschrieben: die vertikale Änderung (Höhenunterschied) geteilt durch die horizontale Änderung (horizontale Strecke).
Q03Was bedeutet Höhenunterschied zu horizontaler Strecke?
Höhenunterschied zu horizontaler Strecke ist die vertikale Änderung zwischen zwei Punkten (der Höhenunterschied, Δy) geteilt durch die horizontale Änderung zwischen ihnen (die horizontale Strecke, Δx). Es ist genau dasselbe wie die Steigung, also Steigung = Höhenunterschied ÷ horizontale Strecke. Ein Höhenunterschied von 6 über eine horizontale Strecke von 3 ergibt eine Steigung von 2.
Q04Was ist die Steigung einer senkrechten Geraden?
Eine senkrechte Gerade hat eine undefinierte Steigung. Da die beiden Punkte dieselbe x-Koordinate haben, ist die horizontale Strecke (Δx) null, und die Division durch null ist nicht definiert. Dieser Rechner erkennt senkrechte Geraden und gibt die Steigung als undefiniert an.
Q05Was ist die Steigung einer waagerechten Geraden?
Eine waagerechte Gerade hat eine Steigung von null. Die beiden Punkte haben dieselbe y-Koordinate, sodass der Höhenunterschied (Δy) null ist, und null geteilt durch die horizontale Strecke ist null. Ihre Gleichung ist einfach y = b, wobei b der konstante y-Wert ist.
Q06Wie finde ich den y-Achsenabschnitt und die Geradengleichung?
Nachdem Sie die Steigung m gefunden haben, berechnen Sie den y-Achsenabschnitt mit b = y₁ − m·x₁ unter Verwendung eines Ihrer Punkte. Die Gerade wird dann in der Normalform als y = mx + b geschrieben. Der Rechner gibt sowohl den y-Achsenabschnitt als auch die vollständige Gleichung sowie die Punkt-Steigungs-Form y − y₁ = m(x − x₁) zurück.
Q07Wie hängt der Winkel einer Geraden mit ihrer Steigung zusammen?
Die Steigung ist gleich dem Tangens des Steigungswinkels der Geraden, sodass der Winkel arctan(m) ist, gemessen von der positiven x-Achse. Eine Steigung von 1 entspricht einem Winkel von 45°. Dieses Tool gibt den Winkel in Grad neben der Steigung an.
Q08Ist dieser Steigung Rechner kostenlos?
Ja, er ist vollständig kostenlos ohne Limits, ohne Anmeldung und ohne Premium-Version. Er läuft vollständig in Ihrem Browser, sodass Ihre Koordinaten niemals hochgeladen werden, und Sie können die Steigung von so vielen Geraden finden, wie Sie möchten.