Wurzelrechner
Geben Sie eine beliebige Zahl ein, um ihre Quadratwurzel als Dezimalzahl und in der einfachsten Wurzelform zu finden — zum Beispiel √72 = 6√2 — mit jedem angezeigten Schritt. Erkennt Quadratzahlen und liefert auch die Kubikwurzel.
- 01Finden Sie die Quadratwurzel jeder Zahl sofort als exakte Dezimalzahl.
- 02Vereinfachen Sie Quadratwurzeln in die einfachste Wurzelform, wie √72 = 6√2.
- 03Erkennen Sie Quadratzahlen und sehen Sie das vereinfachte ganzzahlige Ergebnis.
- 04Erhalten Sie die Kubikwurzel und die ursprüngliche Zahl zu jedem Ergebnis.
- 05100 % kostenlos und privat — jede Berechnung läuft in Ihrem Browser.
Quadratwurzel Rechner
Probieren Sie eine Beispielzahl
Quadratwurzel (√N)
8.485281
Die nichtnegative Hauptwurzel als Dezimalzahl
Einfachste Wurzelform
62
Exakte Form mit der größten herausgezogenen Quadratzahl
Ist Quadratzahl
Nein
Kubikwurzel (∛N)
4.160168
Ursprüngliche Zahl
72
Schritt-für-Schritt-Berechnung
- 01Ziehen Sie die größte Quadratzahl heraus: 72 = 36 × 2.
- 02Teilen Sie die Wurzel auf: √{{n}} = √36 × √2 = 6√2.
- 03Einfachste Wurzelform: √N = 6√2 ≈ 8.485281.
Warum diesen Wurzelrechner verwenden
Dezimal- und exakte Wurzelform
Erhalten Sie die Quadratwurzel einer Zahl auf zwei Arten: als präzisen Dezimalwert und als exakte Antwort in der einfachsten Wurzelform. Zum Beispiel zeigt der Rechner √72 als 6√2 und als 8.485281 an, sodass Sie die Form verwenden können, die Ihre Hausaufgabe, Prüfung oder Ihr Projekt erfordert.
Wurzeln automatisch vereinfachen
Dieser Wurzel-Vereinfacher zieht die größte Quadratzahl heraus, sodass jede Wurzel auf ihre einfachste Form mit einer quadratfreien Zahl unter der Wurzel reduziert wird. Geben Sie √200 ein, und er liefert 10√2; geben Sie √45 ein, und er liefert 3√5 — kein manuelles Faktorisieren erforderlich.
Erkennung von Quadratzahlen
Sehen Sie sofort, ob eine Zahl eine Quadratzahl ist. Wenn ja, verschwindet die Wurzel, und Sie erhalten ein sauberes ganzzahliges Ergebnis — √144 = 12, √169 = 13 — sodass Sie Quadratzahlen beim Üben oder Überprüfen von Aufgaben leicht erkennen können.
Schritt-für-Schritt-Rechenweg
Sehen Sie genau, wie jede Quadratwurzel vereinfacht wird: das Erkennen des größten Quadratzahl-Faktors, das Aufteilen der Wurzel und das Herausziehen des Koeffizienten nach vorn. Die Schritt-für-Schritt-Erklärung macht dies zu einem hervorragenden Werkzeug, um zu lernen, wie man eine Wurzel von Hand vereinfacht.
Kubikwurzeln und mehr
Über die Quadratwurzel hinaus liefert der Rechner auch die Kubikwurzel der Zahl und gibt den ursprünglichen Wert wieder, was Ihnen eine schnelle, vollständige Zusammenfassung der Wurzeln der Zahl an einem Ort bietet — praktisch zum Vergleichen von Wurzeln.
Sofort, kostenlos und privat
Alles läuft vollständig in Ihrem Browser ohne Server-Kommunikation, ohne Anmeldung und ohne Limits. Ihre Zahlen verlassen niemals Ihr Gerät, die Ergebnisse erscheinen, sobald Sie tippen, und Sie können so viele Wurzeln vereinfachen, wie Sie möchten — kostenlos.
Was ist eine Quadratwurzel?
Die Quadratwurzel einer Zahl N ist der Wert, der mit sich selbst multipliziert N ergibt. Sie wird mit dem Wurzelzeichen √ geschrieben, also ist √25 = 5, weil 5 × 5 = 25. Jede positive Zahl hat zwei Quadratwurzeln — eine positive und eine negative — aber das Wurzelzeichen bezieht sich auf die (nichtnegative) Hauptwurzel. Quadratwurzeln sind grundlegend in Algebra, Geometrie, dem Satz des Pythagoras, der Statistik und der Physik.
Ob Sie ein Schüler sind, der Wurzeln für die Algebra vereinfacht, ein Lehrer, der Beispiele vorbereitet, oder jemand, der schnell die Quadratwurzel einer Zahl benötigt — dieser Wurzelrechner liefert sofortige Dezimalwerte, die exakte einfachste Wurzelform und klare Schritt-für-Schritt-Erklärungen.
- Quadratzahlen vs. irrationale Wurzeln
- Eine Quadratzahl ist eine Zahl, deren Quadratwurzel eine ganze Zahl ist, wie 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121 und 144. Wenn N keine Quadratzahl ist, ist ihre Quadratwurzel eine irrationale Zahl mit einer nicht periodischen Dezimaldarstellung — zum Beispiel √2 ≈ 1.41421356 — weshalb das Schreiben in der exakten Wurzelform oft bevorzugt wird.
- Einfachste Wurzelform
- Eine Quadratwurzel zu vereinfachen bedeutet, sie so umzuschreiben, dass die Zahl unter der Wurzel (der Radikand) keine Quadratzahl-Faktoren außer 1 hat. Finden Sie dazu die größte Quadratzahl, die N teilt, ziehen Sie ihre Wurzel als Koeffizienten nach vorn und lassen Sie den Rest unter der Wurzel. Zum Beispiel √72 = √(36 × 2) = 6√2.
- So vereinfachen Sie eine Quadratwurzel
- Zerlegen Sie den Radikanden in eine Quadratzahl mal einen verbleibenden Faktor, teilen Sie die Wurzel mit √(a × b) = √a × √b auf und werten Sie dann den Quadratzahl-Teil aus. Die quadratfreie Zahl bleibt unter der Wurzel. Dies ist die Standardmethode, die dieser Wurzelrechner automatisiert und Schritt für Schritt zeigt.
- Quadratwurzeln negativer Zahlen
- Die Quadratwurzel einer negativen Zahl ist keine reelle Zahl; sie ist imaginär. Der Rechner drückt sie als Vielfaches von i aus, wobei i = √-1. Zum Beispiel √-9 = 3i, weil (3i)² = 9i² = -9. Imaginäre und komplexe Zahlen erweitern die reelle Zahlengerade und sind in der höheren Mathematik und im Ingenieurwesen unverzichtbar.
So verwenden Sie den Wurzelrechner
- 01
Geben Sie eine Zahl ein
Tippen oder fügen Sie eine einzelne Zahl in das Eingabefeld ein — zum Beispiel 72. Dezimalzahlen wie 0.25 und negative Zahlen wie -16 werden unterstützt, sodass Sie die Quadratwurzel fast jedes Werts finden können.
- 02
Klicken Sie auf Berechnen
Drücken Sie die Berechnen-Schaltfläche (oder die Eingabetaste). Das Tool berechnet die Quadratwurzel, vereinfacht die Wurzel, prüft, ob die Zahl eine Quadratzahl ist, und findet die Kubikwurzel sofort in Ihrem Browser.
- 03
Lesen Sie die Ergebnisse
Die Übersichtskarten zeigen die Quadratwurzel als Dezimalzahl und die einfachste Wurzelform (zum Beispiel 6√2). Darunter sehen Sie, ob die Zahl eine Quadratzahl ist, ihre Kubikwurzel und die ursprüngliche Zahl, die Sie eingegeben haben.
- 04
Überprüfen Sie die Schritte
Öffnen Sie den Schritt-für-Schritt-Bereich, um zu sehen, wie die Wurzel vereinfacht wurde: der größte Quadratzahl-Faktor, wie sich die Wurzel aufteilt und wie der Koeffizient nach vorn kommt. Ideal zum Lernen und zum Überprüfen Ihrer eigenen Arbeit.
Tipps zum Vereinfachen von Quadratwurzeln
Prägen Sie sich die Quadratzahlen ein
Die Quadratzahlen bis 144 oder höher zu kennen (1, 4, 9, 16, 25, …, 144) macht das Vereinfachen von Wurzeln viel schneller, weil Sie den größten Quadratzahl-Faktor in jedem Radikanden sofort erkennen können.
Ziehen Sie die größte Quadratzahl heraus
Ziehen Sie die größte Quadratzahl immer in einem Schritt heraus statt in mehreren. √72 vereinfacht sich mit 36 direkt zu 6√2, statt mit 4 zu 2√18 — was noch weiteres Vereinfachen erfordert. Die größte Quadratzahl zuerst herauszuziehen spart Arbeit.
Lassen Sie quadratfreie Radikanden
Eine Quadratwurzel ist nur dann in der einfachsten Form, wenn die Zahl unter der Wurzel keine Quadratzahl-Faktoren außer 1 hat. Wenn Sie noch eine Quadratzahl herausziehen können, ist die Wurzel noch nicht vollständig vereinfacht — machen Sie weiter, bis der Radikand quadratfrei ist.
Behalten Sie nach Möglichkeit die exakte Form
Für exakte Antworten bevorzugen Sie die Wurzelform (wie 6√2) gegenüber einer gerundeten Dezimalzahl. Dezimalzahlen führen Rundungsfehler ein, während die vereinfachte Wurzel exakt ist — wichtig in Algebra, Geometrie und Trigonometrie.
Achten Sie auf negative Eingaben
Die Quadratwurzel einer negativen Zahl ist imaginär, nicht undefiniert. Drücken Sie sie mit i aus (zum Beispiel √-25 = 5i). Verwechseln Sie dies nicht mit der Kubikwurzel, die für negative Zahlen definiert ist und reell bleibt.
Überprüfen Sie mit der Dezimalzahl
Überprüfen Sie nach dem Vereinfachen Ihre Wurzel, indem Sie ihren Dezimalwert mit dem des Rechners vergleichen. Wenn 6√2 und 8.485281 übereinstimmen, ist Ihre Vereinfachung korrekt — eine schnelle Plausibilitätsprüfung, die Faktorisierungsfehler erkennt.
Wurzelformeln und Definitionen
Definition einer Quadratwurzel
Die Quadratwurzel von N ist die Zahl x, sodass x² = N. Die Hauptwurzel, geschrieben √N, ist der nichtnegative Wert. Für positives N gibt es zwei Quadratwurzeln, +√N und -√N, aber √N bezeichnet per Konvention die positive.
Was das Vereinfachen einer Wurzel bedeutet
- Schreiben Sie √N als Koeffizient mal eine kleinere Wurzel um, z. B. √72 = 6√2.
- Ziehen Sie die größte Quadratzahl heraus, sodass der Radikand quadratfrei ist.
- Behalten Sie exakte Werte, statt auf eine Dezimalzahl zu runden.
- Eine Quadratzahl vereinfacht sich zu einer ganzen Zahl ohne verbleibende Wurzel.
Quadratwurzeln vs. Kubikwurzeln
Eine Quadratwurzel macht das Quadrieren (x²) rückgängig, während eine Kubikwurzel das Kubieren (x³) rückgängig macht. Quadratwurzeln negativer Zahlen sind imaginär, aber Kubikwurzeln negativer Zahlen sind reell — zum Beispiel ∛-27 = -3.
Wichtige Wurzelformeln
Definition
√N = x, wobei x ≥ 0 und x² = N
Beispiel: √25 = 5, weil 5² = 25.
Produktregel für Wurzeln
√(a × b) = √a × √b
Wird verwendet, um eine Quadratzahl abzuspalten, z. B. √72 = √36 × √2.
Einfachste Wurzelform
√N = c√r, wobei c² der größte Quadratzahl-Faktor von N und r quadratfrei ist
Beispiel: √72 = 6√2, da 72 = 36 × 2.
Quadratzahl
N ist eine Quadratzahl, wenn √N eine ganze Zahl ist
Beispiel: 144 ist eine Quadratzahl, weil √144 = 12.
Imaginäre Quadratwurzel
√(-N) = √N · i, wobei i = √-1
Beispiel: √-9 = 3i.
Kubikwurzel
∛N = x, wobei x³ = N
Beispiel: ∛64 = 4, und ∛-27 = -3.
Häufige Fragen zum Wurzelrechner
Q01Wie finde ich die Quadratwurzel einer Zahl?
Die Quadratwurzel einer Zahl N ist der Wert, der mit sich selbst multipliziert N ergibt. Bei Quadratzahlen ist die Antwort eine ganze Zahl — √81 = 9. Bei anderen Zahlen ist es eine irrationale Dezimalzahl, wie √10 ≈ 3.162278. Dieser Wurzelrechner liefert sowohl den Dezimalwert als auch, wo möglich, die exakte einfachste Wurzelform sowie den Schritt-für-Schritt-Rechenweg.
Q02Wie vereinfache ich eine Quadratwurzel?
Um eine Quadratwurzel zu vereinfachen, finden Sie die größte Quadratzahl, die die Zahl unter der Wurzel teilt, ziehen ihre Wurzel als Koeffizienten nach vorn und lassen den verbleibenden quadratfreien Faktor unter der Wurzel. Zum Beispiel √72 = √(36 × 2) = 6√2. Der Rechner erledigt dies automatisch und zeigt jeden Schritt.
Q03Was ist die einfachste Wurzelform?
Die einfachste Wurzelform bedeutet, dass die Zahl unter der Wurzel (der Radikand) keine Quadratzahl-Faktoren außer 1 hat und keine Wurzeln in einem Nenner stehen. Zum Beispiel ist √50 in der einfachsten Wurzelform 5√2, und √45 ist 3√5. Wenn eine Zahl eine Quadratzahl ist, ist ihre einfachste Form einfach eine ganze Zahl.
Q04Was ist eine Quadratzahl?
Eine Quadratzahl ist eine Zahl, deren Quadratwurzel eine ganze Zahl ist, wie 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121 und 144. Wenn Sie die Quadratwurzel einer Quadratzahl ziehen, verschwindet die Wurzel, und Sie erhalten eine ganze Zahl — zum Beispiel √144 = 12. Der Rechner kennzeichnet, ob Ihre Zahl eine Quadratzahl ist.
Q05Kann dieser Rechner Wurzeln wie √72 vereinfachen?
Ja. Geben Sie 72 ein, und der Rechner liefert die einfachste Wurzelform 6√2 zusammen mit der Dezimalzahl 8.485281. Er funktioniert als Wurzelrechner und Wurzel-Vereinfacher für jede nichtnegative ganze Zahl und zieht die größte Quadratzahl automatisch heraus.
Q06Was ist die Quadratwurzel einer negativen Zahl?
Die Quadratwurzel einer negativen Zahl ist imaginär, geschrieben als Vielfaches von i, wobei i = √-1. Zum Beispiel √-9 = 3i, weil (3i)² = -9. Dieser Rechner erkennt negative Eingaben und zeigt das Ergebnis in der Form Ni an, sodass Sie korrekt mit imaginären Zahlen arbeiten können.
Q07Funktioniert es für Dezimalzahlen?
Ja. Sie können Dezimalzahlen wie 0.25 oder 2.5 eingeben, und der Rechner liefert die Quadratwurzel als Dezimalzahl — zum Beispiel √0.25 = 0.5. Die einfachste Wurzelform wird nur für ganze Zahlen angezeigt, da das Vereinfachen von Wurzeln auf ganze Zahlen anwendbar ist; bei Dezimalzahlen zeigt der Rechner den Dezimalwert.
Q08Ist dieser Wurzelrechner kostenlos?
Ja, er ist vollständig kostenlos ohne Limits, ohne Anmeldung und ohne Premium-Version. Berechnen Sie Quadratwurzeln, vereinfachen Sie Wurzeln, erkennen Sie Quadratzahlen und finden Sie Kubikwurzeln für so viele Zahlen, wie Sie möchten — vollständig in Ihrem Browser.