Калькулятор доверительного интервала
Введите выборочное среднее, стандартное отклонение, объём выборки и уровень доверия, чтобы вычислить доверительный интервал для среднего, предельную ошибку, стандартную ошибку и критическое z-значение — с показом каждого шага.
- 01Мгновенно вычисляйте 90%, 95% или 99% доверительный интервал для среднего.
- 02Получите предельную ошибку, стандартную ошибку и критическое z-значение в один клик.
- 03Смотрите формулу доверительного интервала, расписанную по шагам.
- 04Выбирайте из распространённых уровней доверия от 80% до 99,9%.
- 05100% бесплатно и конфиденциально — все вычисления выполняются в вашем браузере.
Калькулятор доверительного интервала
95% доверительный интервал
[94.632319, 105.367681]
Оценка среднего: 100 ± 5.367681
Предельная ошибка (ME)
5.367681
Стандартная ошибка (SE)
2.738613
Критическое z-значение
1.96
Уровень доверия
95%
Нижняя граница
94.632319
Верхняя граница
105.367681
Выборочное среднее (x̄)
100
Объём выборки (n)
30
Пошаговое вычисление
- 01Найдите критическое z-значение для уровня доверия 95%: z = 1.96
- 02Стандартная ошибка SE = s ÷ √n = 15 ÷ √30 = 2.738613
- 03Предельная ошибка ME = z × SE = 1.96 × 2.738613 = 5.367681
- 04Доверительный интервал = x̄ ± ME = 100 ± 5.367681 = [94.632319, 105.367681]
Почему стоит использовать этот калькулятор доверительного интервала
Доверительный интервал для среднего
Введите выборочное среднее, стандартное отклонение и объём выборки, чтобы мгновенно получить доверительный интервал для среднего генеральной совокупности. Калькулятор возвращает нижнюю и верхнюю границы, так что вы знаете правдоподобный диапазон для истинного среднего на выбранном вами уровне доверия.
Предельная ошибка включена
Этот калькулятор доверительного интервала также служит калькулятором предельной ошибки: он сообщает предельную ошибку (z × стандартная ошибка) напрямую, так что вы можете выразить свою оценку как среднее ± предельная ошибка и точно увидеть, насколько широк интервал.
Выберите свой уровень доверия
Выбирайте из распространённых уровней доверия — 80%, 85%, 90%, 95%, 98%, 99% и 99,9% — каждый сопоставлен со своим стандартным критическим z-значением. Переключайтесь между 90%, 95% или 99% доверительным интервалом, чтобы увидеть, как уровень меняет ширину интервала.
Пошаговое решение
Смотрите, как формула доверительного интервала применяется по шагам: критическое z-значение, стандартная ошибка среднего, предельная ошибка и итоговый интервал. Идеально для домашних заданий по статистике, подготовки к экзаменам и проверки собственных вычислений.
Мгновенно и конфиденциально
Всё выполняется полностью в вашем браузере без обращений к серверу. Ваши числа никогда не покидают устройство, результаты появляются мгновенно, а регистрация или установка не требуются.
Бесплатно и без ограничений
Вычисляйте любое количество доверительных интервалов — без дневных лимитов, без учётной записи и без платного доступа. Полный калькулятор ДИ абсолютно бесплатен в использовании.
Что такое доверительный интервал?
Доверительный интервал — это диапазон значений, вычисленный по выборочным данным, который, вероятно, содержит истинное значение параметра генеральной совокупности — чаще всего среднего генеральной совокупности. 95% доверительный интервал, например, означает, что если бы вы повторяли процесс выборки много раз, около 95% построенных таким образом интервалов содержали бы истинное среднее. Ширина интервала управляется предельной ошибкой, которая зависит от стандартной ошибки и выбранного уровня доверия.
Будь вы студентом, изучающим выводную статистику, исследователем, представляющим результаты, или аналитиком, количественно оценивающим неопределённость, — этот калькулятор доверительного интервала выдаёт мгновенные пошаговые оценки среднего и его предельной ошибки для любой выборки.
- Формула доверительного интервала
- Для среднего доверительный интервал равен x̄ ± z × (s ÷ √n), где x̄ — выборочное среднее, s — стандартное отклонение, n — объём выборки, а z — критическое значение для вашего уровня доверия. Этот калькулятор использует z-интервал (нормальный), который подходит для больших выборок или когда известно стандартное отклонение генеральной совокупности σ.
- Предельная ошибка и стандартная ошибка
- Стандартная ошибка среднего равна s ÷ √n, а предельная ошибка — это критическое z-значение, умноженное на стандартную ошибку. Больший объём выборки уменьшает стандартную ошибку и поэтому сужает доверительный интервал, давая более точную оценку среднего.
- Уровень доверия и z-значение
- Более высокие уровни доверия используют большие критические z-значения, которые дают более широкие интервалы. Распространённые z-значения: 1,645 для 90%, 1,96 для 95% и 2,576 для 99%. Всегда есть компромисс: больше доверия означает более широкий, менее точный интервал для тех же данных.
- z-интервал и t-интервал
- Этот инструмент вычисляет z-доверительный интервал, который предполагает, что выборочное распределение среднего приближённо нормально — действительно для больших выборок (обычно n ≥ 30) или известного σ. Для малых выборок с неизвестным стандартным отклонением генеральной совокупности используйте t-интервал, который заменяет z критическим t-значением на основе n − 1 степеней свободы, чтобы получить немного более широкий, более консервативный интервал.
Как использовать калькулятор доверительного интервала
- 01
Введите выборочное среднее
Введите ваше выборочное среднее (x̄) в первое поле. Это среднее ваших выборочных данных и центр доверительного интервала.
- 02
Введите стандартное отклонение и объём выборки
Введите стандартное отклонение (s или σ) ваших данных и объём выборки (n). Вместе с уровнем доверия они определяют стандартную ошибку и предельную ошибку.
- 03
Выберите уровень доверия
Выберите уровень доверия из выпадающего списка — например, 95%. Калькулятор автоматически сопоставляет его с подходящим критическим z-значением (таким как 1,96 для 95%).
- 04
Прочитайте доверительный интервал
Нажмите «Вычислить», чтобы увидеть доверительный интервал, показанный как [нижняя, верхняя] граница, вместе с предельной ошибкой, стандартной ошибкой и z-значением, а также пошаговую разбивку формулы доверительного интервала.
Советы по вычислению доверительных интервалов
Используйте z для больших выборок
z-доверительный интервал подходит, когда выборка большая (обычно n ≥ 30) или когда известно стандартное отклонение генеральной совокупности. Для малых выборок с неизвестным σ переключитесь на t-интервал для более точного результата.
Больше выборка — уже интервалы
Поскольку стандартная ошибка равна s ÷ √n, увеличение объёма выборки уменьшает предельную ошибку и сужает доверительный интервал. Учетверение n примерно вдвое уменьшает предельную ошибку.
Сопоставьте уровень доверия с ценой ошибки
99% доверительный интервал шире, чем 95% интервал для тех же данных. Выбирайте более высокий уровень доверия только тогда, когда промах мимо истинного значения был бы дорогим, и примите более широкий, менее точный диапазон, который с этим приходит.
Указывайте предельную ошибку
Выражайте ваш результат как среднее ± предельная ошибка, чтобы читатели могли видеть и точечную оценку, и её неопределённость. Предельная ошибка часто интуитивно понятнее, чем одни лишь границы интервала.
Проверяйте свои предположения
Доверительный интервал для среднего предполагает, что данные являются случайной выборкой и, для малых выборок, что лежащее в основе распределение приближённо нормально. Нарушение этих предположений может сделать интервал вводящим в заблуждение.
Интерпретируйте его правильно
95% доверительный интервал не означает, что есть 95% вероятность того, что истинное среднее лежит в этом одном интервале. Он означает, что 95% интервалов, построенных таким образом, по многим выборкам, охватили бы истинное среднее.
Формулы и определения доверительного интервала
Определение доверительного интервала
Доверительный интервал — это диапазон правдоподобных значений для параметра генеральной совокупности, оценённый по выборочным данным. Для среднего он центрирован на выборочном среднем и простирается в каждом направлении на предельную ошибку, причём ширина задаётся уровнем доверия.
Что говорит вам доверительный интервал
- Правдоподобный диапазон для истинного среднего генеральной совокупности по вашей выборке.
- Насколько точна ваша оценка — более узкие интервалы означают большую точность.
- Предельную ошибку, неопределённость, связанную с выборочным средним.
- Как выбор уровня доверия (90%, 95%, 99%) обменивает точность на доверие.
z-интервал и t-интервал — что выбрать
Используйте z-интервал (нормальный) для больших выборок (обычно n ≥ 30) или известного стандартного отклонения генеральной совокупности σ. Используйте t-интервал, с критическим t-значением на n − 1 степенях свободы, для малых выборок, когда σ неизвестно.
Ключевые формулы доверительного интервала
Стандартная ошибка среднего
SE = s ÷ √n
Пример: 15 ÷ √30 ≈ 2,739.
Предельная ошибка
ME = z × SE
Пример: 1,96 × 2,739 ≈ 5,368 для 95% интервала.
Доверительный интервал для среднего
x̄ ± z × (s ÷ √n)
Нижняя = x̄ − ME, Верхняя = x̄ + ME.
Критические z-значения
90% → 1,645, 95% → 1,96, 99% → 2,576
Большие z-значения дают более широкие интервалы с большим доверием.
t-интервал (малые выборки)
x̄ ± t(n−1) × (s ÷ √n)
Используйте, когда σ неизвестно и выборка мала.
Часто задаваемые вопросы о калькуляторе доверительного интервала
Q01Как вычислить доверительный интервал для среднего?
Найдите стандартную ошибку, разделив стандартное отклонение на квадратный корень из объёма выборки (SE = s ÷ √n). Умножьте стандартную ошибку на критическое z-значение для вашего уровня доверия, чтобы получить предельную ошибку (ME = z × SE). Доверительный интервал — это выборочное среднее плюс и минус предельная ошибка: x̄ ± ME. Этот калькулятор выполняет каждый шаг за вас и показывает решение.
Q02Какова формула доверительного интервала?
Для среднего с использованием z-интервала (нормального) формула: x̄ ± z × (s ÷ √n), где x̄ — выборочное среднее, s — стандартное отклонение, n — объём выборки, а z — критическое значение для уровня доверия. Интервал простирается от x̄ − предельная ошибка до x̄ + предельная ошибка.
Q03Какое z-значение использовать для 95% доверительного интервала?
Для 95% доверительного интервала двустороннее критическое z-значение равно 1,96. Другие распространённые значения: 1,645 для 90%, 2,326 для 98%, 2,576 для 99% и 3,291 для 99,9%. Этот калькулятор выбирает правильное z-значение автоматически, когда вы выбираете уровень доверия.
Q04Что такое предельная ошибка?
Предельная ошибка — это величина, прибавляемая к выборочному среднему и вычитаемая из него для образования доверительного интервала. Она равна критическому z-значению, умноженному на стандартную ошибку (ME = z × s ÷ √n). Больший объём выборки или более низкий уровень доверия дают меньшую предельную ошибку.
Q05Когда использовать z-интервал, а когда t-интервал?
Используйте z-доверительный интервал, который вычисляет этот калькулятор, когда выборка большая (обычно n ≥ 30) или известно стандартное отклонение генеральной совокупности σ. Используйте t-интервал — который заменяет z критическим t-значением на основе n − 1 степеней свободы — для малых выборок с неизвестным σ. t-интервал немного шире и консервативнее.
Q06Как объём выборки влияет на доверительный интервал?
Увеличение объёма выборки уменьшает стандартную ошибку (s ÷ √n) и поэтому сужает доверительный интервал, давая более точную оценку среднего. Из-за квадратного корня вам нужен примерно четырёхкратный объём выборки, чтобы вдвое уменьшить предельную ошибку.
Q07Как мне интерпретировать 95% доверительный интервал?
95% доверительный интервал означает, что если бы вы повторяли процесс выборки и построения интервала много раз, около 95% полученных интервалов содержали бы истинное среднее генеральной совокупности. Он не означает, что есть 95% вероятность того, что истинное среднее попадает внутрь именно этого интервала.
Q08Отправляются ли мои данные на сервер?
Нет. Калькулятор работает полностью в вашем браузере с помощью JavaScript. Ваши данные никогда не загружаются и нигде не хранятся, поэтому его безопасно использовать с личными или конфиденциальными данными.
Q09Бесплатен ли этот калькулятор доверительного интервала?
Да, он полностью бесплатен, без ограничений, без регистрации и без премиум-версии. Вычисляйте любое количество доверительных интервалов и предельных ошибок.