Калькулятор квадратных уравнений
Введите коэффициенты a, b и c, чтобы решить ax² + bx + c = 0 по формуле корней квадратного уравнения — получите действительные или комплексные корни, дискриминант, вершину и ось симметрии, с показом каждого шага.
- 01Мгновенно решайте любое квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 по формуле корней.
- 02Автоматически получайте два действительных корня, кратный корень или пару комплексно-сопряжённых корней.
- 03Смотрите дискриминант b² − 4ac и что он говорит о характере корней.
- 04Находите вершину параболы и ось симметрии в один клик.
- 05Смотрите пошаговое решение, которое подставляет ваши значения в формулу корней.
- 06100% бесплатно и конфиденциально — все вычисления выполняются в вашем браузере.
Калькулятор квадратных уравнений
Введите коэффициенты ax² + bx + c = 0
1x² + −3x + 2 = 0
Попробуйте пример уравнения
Корень x₁
2
Действительное решение ax² + bx + c = 0
Корень x₂
1
Действительное решение ax² + bx + c = 0
Дискриминант (b² − 4ac)
1
Характер корней
Два различных действительных корня
Ось симметрии
x = 1.5
Вершина (h, k)
(1.5, −0.25)
Вершина x (h)
1.5
Вершина y (k)
−0.25
Коэффициент a
1
Коэффициент b
−3
Пошаговое вычисление
- 01Формула корней: x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a
- 02Подставьте значения: x = (−(−3) ± √((−3)² − 4 · 1 · 2)) ÷ (2 · 1)
- 03Дискриминант b² − 4ac = (−3)² − 4 · 1 · 2 = 1
- 04Два действительных корня: x₁ = 2, x₂ = 1
Почему стоит использовать этот калькулятор квадратных уравнений
Действительные и комплексные корни
Калькулятор автоматически определяет, имеет ли ваше квадратное уравнение два различных действительных корня, один кратный действительный корень или пару комплексно-сопряжённых, и аккуратно форматирует комплексные корни как p ± q i. Вы всегда получаете правильные корни квадратного уравнения, каким бы ни был дискриминант.
Формула корней пошагово
Смотрите, как именно применяется формула корней квадратного уравнения: сама формула, ваши подставленные значения для a, b и c, дискриминант b² − 4ac и итоговые корни. Идеально для домашних заданий, подготовки к экзаменам и проверки собственной работы при решении квадратного уравнения.
Дискриминант и характер корней
Калькулятор дискриминанта вычисляет b² − 4ac и сообщает, что он означает: больше нуля даёт два действительных корня, равно нулю даёт один кратный корень, а меньше нуля даёт комплексные корни. Понимание дискриминанта — ключ к освоению квадратных уравнений.
Вершина и ось симметрии
Помимо корней, калькулятор находит вершину параболы (h, k) и ось симметрии x = −b ÷ 2a, так что вы можете построить график y = ax² + bx + c и понять его форму с первого взгляда.
Мгновенно и конфиденциально
Всё выполняется полностью в вашем браузере без обращений к серверу. Ваше уравнение никогда не покидает устройство, результаты появляются мгновенно, как и должно быть у решателя квадратных уравнений, а регистрация или установка не требуются.
Бесплатно и без ограничений
Решайте любое количество квадратных уравнений — без дневных лимитов, без учётной записи и без платного доступа. Полный калькулятор формулы корней абсолютно бесплатен.
Что такое квадратное уравнение?
Квадратное уравнение — это любое уравнение, которое можно записать в стандартном виде ax² + bx + c = 0, где a, b и c — постоянные, а a не равно нулю. Значения x, удовлетворяющие уравнению, называются корнями или решениями, и у квадратного уравнения всегда ровно два корня (которые могут быть равны или могут быть комплексными). Квадратные уравнения встречаются повсюду в алгебре, физике, технике и экономике.
Будь вы студентом, изучающим, как решать квадратные уравнения, учителем, готовящим примеры, или инженером, проверяющим вычисление, — этот калькулятор квадратных уравнений выдаёт мгновенные пошаговые результаты по формуле корней для любых значений a, b и c.
- Формула корней квадратного уравнения
- Формула корней x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a решает любое квадратное уравнение прямо по его коэффициентам. Этот калькулятор использует формулу корней и показывает каждую подстановку, так что вы можете точно проследить, как находятся корни квадратного уравнения.
- Дискриминант
- Дискриминант — это часть под квадратным корнем, b² − 4ac. Он определяет характер корней: если он положителен, есть два различных действительных корня, если он равен нулю, есть один кратный действительный корень, а если он отрицателен, есть два комплексно-сопряжённых корня. Калькулятор дискриминанта — самый быстрый способ классифицировать квадратное уравнение перед его решением.
- Действительные и комплексные корни
- Когда дискриминант отрицателен, квадратный корень из отрицательного числа мнимый, поэтому корни — комплексные числа, записанные как p ± q i, где действительная часть p равна −b ÷ 2a, а мнимая величина q равна √(−(b² − 4ac)) ÷ 2a. Калькулятор форматирует эти сопряжённые корни автоматически.
- Вершина, ось симметрии и парабола
- График квадратного уравнения — это парабола. Её вершина находится в точке x = −b ÷ 2a с y = c − b² ÷ 4a, а ось симметрии — это вертикальная прямая x = −b ÷ 2a, проходящая через эту вершину. Умение решать квадратные уравнения вместе со знанием вершины значительно упрощает построение графиков и задачи оптимизации.
Как использовать калькулятор квадратных уравнений
- 01
Запишите уравнение в стандартном виде
Преобразуйте уравнение так, чтобы всё было на одной стороне и оно читалось как ax² + bx + c = 0. Например, x² = 3x − 2 становится x² − 3x + 2 = 0, что даёт a = 1, b = −3 и c = 2. Помните, что a не должно быть равно нулю, чтобы уравнение было квадратным.
- 02
Введите коэффициенты a, b и c
Введите коэффициент a (число перед x²), b (число перед x) и свободный член c в три поля ввода. Десятичные и отрицательные числа поддерживаются, поэтому работает любое квадратное уравнение.
- 03
Нажмите «Решить»
Нажмите кнопку «Решить». Калькулятор формулы корней вычисляет дискриминант, применяет формулу корней и возвращает корни — действительные или комплексные — мгновенно в вашем браузере.
- 04
Прочитайте корни и шаги
Главные карточки показывают корни квадратного уравнения. Ниже вы получите дискриминант, характер корней, вершину и ось симметрии, а также раздел пошагового решения, показывающий ваши значения, подставленные в формулу корней. Отлично подходит для обучения и проверки домашних заданий.
Советы по решению квадратных уравнений
Всегда используйте стандартный вид
Прежде чем считывать a, b и c, перенесите каждый член на одну сторону, чтобы уравнение было равно нулю. Перепутать знаки коэффициентов — самая распространённая ошибка, когда люди решают квадратное уравнение по формуле корней.
Сначала проверьте дискриминант
Вычислите b² − 4ac прежде всего остального. Знак дискриминанта сразу говорит вам, ожидать ли два действительных корня, один кратный корень или пару комплексно-сопряжённых, что помогает проверить разумность итогового ответа.
Следите за знаком b
Формула корней начинается с −b, поэтому отрицательное b становится положительным внутри формулы. Заключение b в скобки, как в −(−3), предотвращает ошибки в знаках при подстановке значений в формулу корней.
Пробуйте разложение, когда это просто
Если квадратное уравнение раскладывается на множители аккуратно, разложение может быть быстрее формулы. Однако формула корней работает всегда, поэтому используйте этот калькулятор, чтобы подтвердить корни квадратного уравнения, найденные разложением.
Сохраняйте достаточную точность
Не округляйте дискриминант или его квадратный корень слишком рано — округление перед последним шагом может привести к заметным ошибкам. Округляйте только итоговые корни для представления результата.
Используйте вершину для построения графика
Когда у вас есть корни и вершина, вы можете быстро построить параболу: ось симметрии проходит через вершину, а корни — это точки, где кривая пересекает ось x.
Определения и ключевые формулы корней квадратного уравнения
Определение квадратного уравнения
Квадратное уравнение — это полиномиальное уравнение второй степени вида ax² + bx + c = 0 с a ≠ 0. Его решения, называемые корнями, — это значения x, в которых парабола y = ax² + bx + c пересекает ось x.
Что говорит вам дискриминант
- Дискриминант > 0: два различных действительных корня (парабола пересекает ось x дважды).
- Дискриминант = 0: один кратный действительный корень (парабола касается оси x в вершине).
- Дискриминант < 0: два комплексно-сопряжённых корня (парабола не пересекает ось x).
- Дискриминант b² − 4ac — самый быстрый способ классифицировать корни квадратного уравнения.
Способы решения квадратного уравнения
Вы можете решить квадратное уравнение разложением на множители, выделением полного квадрата или по формуле корней. Формула корней всегда работает для любых a, b и c, поэтому этот калькулятор использует её.
Ключевые формулы квадратного уравнения
Стандартный вид
ax² + bx + c = 0, a ≠ 0
Пример: x² − 3x + 2 = 0 имеет a = 1, b = −3, c = 2.
Формула корней
x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a
Даёт оба корня прямо по коэффициентам.
Дискриминант
D = b² − 4ac
Определяет, действительные, кратные или комплексные корни.
Комплексные корни
x = (−b ÷ 2a) ± (√(−(b² − 4ac)) ÷ 2a) i
Используется, когда дискриминант отрицателен; корни сопряжены.
Вершина параболы
(−b ÷ 2a, c − b² ÷ 4a)
Точка экстремума y = ax² + bx + c.
Ось симметрии
x = −b ÷ 2a
Вертикальная прямая через вершину.
Часто задаваемые вопросы о калькуляторе квадратных уравнений
Q01Как решить квадратное уравнение?
Запишите уравнение в стандартном виде ax² + bx + c = 0, затем примените формулу корней x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a. Вычислите дискриминант b² − 4ac, извлеките его квадратный корень и вычислите два значения x. Этот калькулятор выполняет все эти шаги за вас, применяет формулу корней и показывает решение, чтобы вы могли научиться решать квадратные уравнения.
Q02Что такое формула корней квадратного уравнения?
Формула корней — это x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a. Она даёт оба корня любого квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 прямо по коэффициентам a, b и c, где a не равно нулю. Символ ± означает, что вы вычисляете её один раз с плюсом и один раз с минусом, чтобы получить два корня.
Q03Что такое дискриминант и о чём он мне говорит?
Дискриминант — это b² − 4ac, выражение под квадратным корнем в формуле корней. Если он положителен, уравнение имеет два различных действительных корня, если он равен нулю, оно имеет один кратный действительный корень, а если он отрицателен, оно имеет два комплексно-сопряжённых корня. Калькулятор дискриминанта классифицирует корни до того, как вы решите уравнение.
Q04Что такое комплексные корни квадратного уравнения?
Когда дискриминант b² − 4ac отрицателен, квадратный корень мнимый, поэтому корни — комплексные числа, записанные как p ± q i. Действительная часть p равна −b ÷ 2a, а мнимая величина q равна √(−(b² − 4ac)) ÷ 2a. Два комплексных корня сопряжены друг с другом, и этот калькулятор форматирует их автоматически.
Q05Почему a не должно быть равно нулю?
Если a равно нулю, нет члена с x², поэтому уравнение ax² + bx + c = 0 сводится к линейному уравнению bx + c = 0, которое не является квадратным. Формула корней делит на 2a, поэтому a = 0 не определено. Этот калькулятор возвращает ошибку, когда a равно нулю.
Q06Как найти вершину и ось симметрии?
Вершина параболы y = ax² + bx + c находится в точке x = −b ÷ 2a, а её координату y вы находите, подставляя это x обратно, что даёт y = c − b² ÷ 4a. Ось симметрии — это вертикальная прямая x = −b ÷ 2a, проходящая через вершину. Калькулятор сообщает обе для каждого уравнения.
Q07Можно ли вводить десятичные и отрицательные коэффициенты?
Да. Вы можете вводить целые, десятичные и отрицательные числа для a, b и c. Калькулятор разбирает их все, поэтому любое квадратное уравнение — включая уравнения с дробными или отрицательными коэффициентами — можно решить по формуле корней.
Q08Отправляются ли мои данные на сервер?
Нет. Решатель квадратных уравнений работает полностью в вашем браузере с помощью JavaScript. Ваши коэффициенты никогда не загружаются и нигде не хранятся, поэтому его безопасно использовать для любой домашней или рабочей задачи.
Q09Бесплатен ли этот калькулятор квадратных уравнений?
Да, он полностью бесплатен, без ограничений, без регистрации и без премиум-версии. Решайте любое количество квадратных уравнений с помощью калькулятора формулы корней.