一元二次方程式計算機
輸入係數 a、b、c，即可用公式解求解 ax² + bx + c = 0——取得實根或複根、判別式、頂點和對稱軸，每一步過程都清楚呈現。
- 01用公式解即時求解任意一元二次方程式 ax² + bx + c = 0。
- 02自動取得兩個實根、重根或一對共軛複根。
- 03查看判別式 b² − 4ac 及其對根的性質的說明。
- 04一鍵求出拋物線的頂點和對稱軸。
- 05查看將你的數值代入公式解的逐步計算過程。
- 06100% 免費且私密——所有計算都在你的瀏覽器中完成。
一元二次方程式計算機
輸入 ax² + bx + c = 0 的係數
1x² + −3x + 2 = 0
試試範例方程式
根 x₁
2
ax² + bx + c = 0 的實數解
根 x₂
1
ax² + bx + c = 0 的實數解
判別式 (b² − 4ac)
1
根的性質
兩個不同的實根
對稱軸
x = 1.5
頂點 (h, k)
(1.5, −0.25)
頂點 x (h)
1.5
頂點 y (k)
−0.25
係數 a
1
係數 b
−3
逐步計算過程
- 01公式解：x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a
- 02代入數值：x = (−(−3) ± √((−3)² − 4 · 1 · 2)) ÷ (2 · 1)
- 03判別式 b² − 4ac = (−3)² − 4 · 1 · 2 = 1
- 04兩個實根：x₁ = 2，x₂ = 1
為什麼使用這款一元二次方程式計算機
實根與複根
計算機會自動偵測你的一元二次方程式是有兩個不同的實根、一個重實根，還是一對共軛複根，並將複根整潔地格式化為 p ± q i。無論判別式如何，你總能得到正確的一元二次方程式的根。
逐步套用公式解
清楚展示公式解是如何套用的：公式本身、代入的 a、b、c 數值、判別式 b² − 4ac 以及最終的根。在你求解一元二次方程式時，非常適合寫作業、考試複習和檢驗自己的運算。
判別式與根的性質
判別式計算機會算出 b² − 4ac 並說明其含義：大於零給出兩個實根，等於零給出一個重根，小於零給出複根。理解判別式是掌握一元二次方程式的關鍵。
頂點與對稱軸
除了根之外，計算機還會求出拋物線的頂點 (h, k) 和對稱軸 x = −b ÷ 2a，讓你能繪製 y = ax² + bx + c 的圖形並一眼理解其形狀。
即時且私密
所有運算完全在你的瀏覽器中進行，無需與伺服器通訊。你的方程式絕不會離開你的裝置，結果會像一元二次方程式求解器應有的那樣即時顯示，也無需註冊或安裝。
完全免費無限制
想求解多少個一元二次方程式都可以——沒有每日限制、不需要帳號，也沒有付費牆。這款完整的公式解計算機完全免費。
什麼是一元二次方程式？
一元二次方程式是任何可寫成標準形式 ax² + bx + c = 0 的方程式，其中 a、b、c 為常數且 a 不為零。滿足方程式的 x 值稱為根或解，一元二次方程式總是恰好有兩個根（它們可能相等，也可能是複數）。一元二次方程式在代數、物理、工程和經濟學中無處不在。
無論你是學習如何求解一元二次方程式的學生、準備例題的教師，還是核對計算的工程師，這款一元二次方程式計算機都能用公式解為任意 a、b、c 提供即時、逐步的計算結果。
- 公式解
- 公式解 x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a 直接根據係數求解任意一元二次方程式。本計算機使用公式解並展示每一步代入，讓你能準確跟隨一元二次方程式的根是如何求出的。
- 判別式
- 判別式是根號下的部分 b² − 4ac。它決定根的性質：若為正則有兩個不同的實根，若為零則有一個重實根，若為負則有兩個共軛複根。判別式計算機是在求解之前對一元二次方程式進行分類最快的方法。
- 實根與複根
- 當判別式為負時，負數的平方根是虛數，因此根為寫作 p ± q i 的複數，其中實部 p 等於 −b ÷ 2a，虛部大小 q 等於 √(−(b² − 4ac)) ÷ 2a。計算機會為你自動格式化這些共軛根。
- 頂點、對稱軸與拋物線
- 一元二次方程式的圖形是拋物線。其頂點位於 x = −b ÷ 2a，y = c − b² ÷ 4a，對稱軸是過該頂點的鉛直線 x = −b ÷ 2a。在掌握如何求解一元二次方程式的同時理解頂點，會使繪圖和最佳化問題容易得多。
如何使用一元二次方程式計算機
- 01
將方程式寫成標準形式
整理方程式，使所有項都在一側，寫成 ax² + bx + c = 0。例如，x² = 3x − 2 變為 x² − 3x + 2 = 0，得到 a = 1、b = −3、c = 2。記住 a 不能為零，方程式才是一元二次方程式。
- 02
輸入係數 a、b、c
在三個輸入框中輸入係數 a（x² 前的數）、b（x 前的數）和常數 c。支援小數和負數，因此任何一元二次方程式都適用。
- 03
點擊「開始求解」
按下求解按鈕。公式解計算機會算出判別式、套用公式解，並在瀏覽器中即時返回根——無論是實根還是複根。
- 04
查看根與步驟
標題卡片顯示一元二次方程式的根。下方則提供判別式、根的性質、頂點和對稱軸，以及展示你的數值代入公式解的逐步區段。非常適合學習和檢驗作業。
求解一元二次方程式的技巧
始終使用標準形式
在讀取 a、b、c 之前，將所有項移到一側，使方程式等於零。弄錯係數的符號是人們用公式解求解一元二次方程式時最常見的錯誤。
先檢查判別式
先於一切計算先算出 b² − 4ac。判別式的符號會立刻告訴你應預期兩個實根、一個重根還是一對共軛複根，有助於核對最終答案。
注意 b 的符號
公式解以 −b 開頭，因此負的 b 在公式內變為正。像 −(−3) 這樣將 b 用括號括起來，可在代入公式解時防止符號錯誤。
簡單時嘗試因式分解
若一元二次式能整潔地因式分解，因式分解可能比公式更快。不過公式解始終有效，因此可用本計算機確認你透過因式分解求出的一元二次方程式的根。
保留足夠的精度
不要太早對判別式或其平方根四捨五入——在最後一步之前捨入可能引入明顯的誤差。僅在報告最終的根時再進行捨入。
用頂點繪圖
一旦有了根和頂點，就能快速繪製拋物線：對稱軸過頂點，而根是曲線與 x 軸的交點。
公式解定義與關鍵公式
一元二次方程式的定義
一元二次方程式是形如 ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）的二次多項式方程式。它的解稱為根，即拋物線 y = ax² + bx + c 與 x 軸交點處的 x 值。
判別式能告訴你什麼
- 判別式 > 0：兩個不同的實根（拋物線與 x 軸相交兩次）。
- 判別式 = 0：一個重實根（拋物線在頂點處與 x 軸相切）。
- 判別式 < 0：兩個共軛複根（拋物線與 x 軸不相交）。
- 判別式 b² − 4ac 是對一元二次方程式的根進行分類最快的方法。
求解一元二次方程式的方法
你可以透過因式分解、配方法或公式解求解一元二次方程式。公式解對任意 a、b、c 始終有效，這正是本計算機使用它的原因。
關鍵二次公式
標準形式
ax² + bx + c = 0, a ≠ 0
範例：x² − 3x + 2 = 0 中 a = 1，b = −3，c = 2。
公式解
x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a
直接根據係數給出兩個根。
判別式
Δ = b² − 4ac
決定根是實根、重根還是複根。
複根
x = (−b ÷ 2a) ± (√(−(b² − 4ac)) ÷ 2a) i
判別式為負時使用；兩個根互為共軛。
拋物線的頂點
(−b ÷ 2a, c − b² ÷ 4a)
y = ax² + bx + c 的轉折點。
對稱軸
x = −b ÷ 2a
過頂點的鉛直線。
一元二次方程式計算機常見問題
Q01如何求解一元二次方程式？
將方程式寫成標準形式 ax² + bx + c = 0，然後套用公式解 x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a。算出判別式 b² − 4ac，開平方根，再求出兩個 x 值。本計算機會為你完成所有這些步驟、套用公式解並展示計算過程，讓你學會如何求解一元二次方程式。
Q02公式解是什麼？
公式解是 x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a。它直接根據係數 a、b、c（a 不為零）給出任意一元二次方程式 ax² + bx + c = 0 的兩個根。± 符號表示分別取加號和減號各算一次，得到兩個根。
Q03什麼是判別式，它能告訴我什麼？
判別式是 b² − 4ac，即公式解中根號下的表示式。若為正，方程式有兩個不同的實根；若為零，有一個重實根；若為負，有兩個共軛複根。判別式計算機可在你求解方程式之前對根進行分類。
Q04什麼是一元二次方程式的複根？
當判別式 b² − 4ac 為負時，平方根是虛數，因此根為寫作 p ± q i 的複數。實部 p 等於 −b ÷ 2a，虛部大小 q 等於 √(−(b² − 4ac)) ÷ 2a。這兩個複根互為共軛，本計算機會自動將它們格式化。
Q05為什麼 a 不能為零？
若 a 等於零，則沒有 x² 項，方程式 ax² + bx + c = 0 退化為一次方程式 bx + c = 0，不再是一元二次方程式。公式解要除以 2a，因此 a = 0 沒有定義。當 a 為零時本計算機會返回錯誤。
Q06如何求頂點和對稱軸？
拋物線 y = ax² + bx + c 的頂點位於 x = −b ÷ 2a，將該 x 代回即可求出其 y 座標，得到 y = c − b² ÷ 4a。對稱軸是過頂點的鉛直線 x = −b ÷ 2a。計算機會為每個方程式報告兩者。
Q07可以輸入小數和負係數嗎？
可以。a、b、c 都能輸入整數、小數和負數。計算機會全部解析，因此任何一元二次方程式——包括係數為分數或負數的——都能用公式解求解。
Q08我的資料會被傳送到伺服器嗎？
不會。一元二次方程式求解器使用 JavaScript 完全在你的瀏覽器中執行。你的係數絕不會被上傳或儲存到任何地方，因此可放心用於任何作業或工作問題。
Q09這款一元二次方程式計算機免費嗎？
是的，完全免費，沒有任何限制、無需註冊，也沒有付費版本。想用公式解計算機求解多少個一元二次方程式都可以。