信賴區間計算機
輸入樣本平均數、標準差、樣本數和信賴水準，即可計算平均數的信賴區間、誤差範圍、標準誤差和 z 臨界值——每一步過程都清楚呈現。
- 01即時計算平均數的 90%、95% 或 99% 信賴區間。
- 02一鍵取得誤差範圍、標準誤差和 z 臨界值。
- 03逐步演示信賴區間公式的計算過程。
- 04可從 80% 到 99.9% 的常見信賴水準中選擇。
- 05100% 免費且私密——所有計算都在你的瀏覽器中完成。
信賴區間計算機
95% 信賴區間
[94.632319, 105.367681]
平均數的估計：100 ± 5.367681
誤差範圍 (ME)
5.367681
標準誤差 (SE)
2.738613
z 臨界值
1.96
信賴水準
95%
下限
94.632319
上限
105.367681
樣本平均數 (x̄)
100
樣本數 (n)
30
逐步計算過程
- 01求出 95% 信賴水準對應的 z 臨界值：z = 1.96
- 02標準誤差 SE = s ÷ √n = 15 ÷ √30 = 2.738613
- 03誤差範圍 ME = z × SE = 1.96 × 2.738613 = 5.367681
- 04信賴區間 = x̄ ± ME = 100 ± 5.367681 = [94.632319, 105.367681]
為什麼使用這款信賴區間計算機
平均數的信賴區間
輸入樣本平均數、標準差和樣本數，即可即時取得母體平均數的信賴區間。計算機會返回下限和上限，讓你在所選信賴水準下了解真實平均數的合理範圍。
內建誤差範圍
這款信賴區間計算機同時也是誤差範圍計算機：它會直接給出誤差範圍（z × 標準誤差），因此你可以將估計表示為平均數 ± 誤差範圍，並清楚看到區間有多寬。
自選信賴水準
可從常見的信賴水準中選擇——80%、85%、90%、95%、98%、99% 和 99.9%——每一個都對應其標準的 z 臨界值。在 90%、95% 或 99% 信賴區間之間切換，看看信賴水準如何改變區間的寬度。
逐步計算過程
逐步展示信賴區間公式的應用：z 臨界值、平均數的標準誤差、誤差範圍以及最終的區間。非常適合寫統計作業、考試複習和檢驗自己的計算。
即時且私密
所有運算完全在你的瀏覽器中進行，無需與伺服器通訊。你的數字絕不會離開你的裝置，結果即時顯示，也無需註冊或安裝。
完全免費無限制
想計算多少個信賴區間都可以——沒有每日限制、不需要帳號，也沒有付費牆。這款完整的信賴區間計算機完全免費使用。
什麼是信賴區間？
信賴區間是根據樣本資料計算出的一個數值範圍，它有可能包含某個母體參數的真實值——最常見的是母體平均數。例如，95% 信賴區間意味著，如果你多次重複抽樣過程，以這種方式構造的區間中約有 95% 會包含真實平均數。區間的寬度由誤差範圍控制，而誤差範圍取決於標準誤差和所選的信賴水準。
無論你是學習推論統計的學生、報告結果的研究人員，還是量化不確定性的分析師，這款信賴區間計算機都能為任意樣本提供即時、逐步的平均數及其誤差範圍的估計。
- 信賴區間公式
- 對於平均數，信賴區間為 x̄ ± z × (s ÷ √n)，其中 x̄ 是樣本平均數，s 是標準差，n 是樣本數，z 是你所選信賴水準對應的臨界值。本計算機使用 z（常態）區間，適用於大樣本或已知母體標準差 σ 的情形。
- 誤差範圍與標準誤差
- 平均數的標準誤差是 s ÷ √n，誤差範圍則是 z 臨界值乘以標準誤差。樣本數越大，標準誤差越小，因此信賴區間越窄，對平均數的估計越精確。
- 信賴水準與 z 值
- 更高的信賴水準使用更大的 z 臨界值，從而產生更寬的區間。常見的 z 值為 90% 對應 1.645、95% 對應 1.96、99% 對應 2.576。這其中總有取捨：信賴度越高，對相同資料而言區間越寬、越不精確。
- z 區間與 t 區間
- 本工具計算 z 信賴區間，它假設平均數的抽樣分布近似常態——適用於大樣本（通常 n ≥ 30）或已知 σ。對於母體標準差未知的小樣本，應使用 t 區間，它用基於 n − 1 自由度的 t 臨界值代替 z，產生略寬、更保守的區間。
如何使用信賴區間計算機
- 01
輸入樣本平均數
在第一個框中輸入你的樣本平均數 (x̄)。它是樣本資料的平均值，也是信賴區間的中心。
- 02
輸入標準差和樣本數
輸入資料的標準差（s 或 σ）和樣本數（n）。它們與信賴水準一起決定標準誤差和誤差範圍。
- 03
選擇信賴水準
從下拉選單中選擇一個信賴水準——例如 95%。計算機會自動將其對應到相應的 z 臨界值（例如 95% 對應 1.96）。
- 04
查看信賴區間
點擊「開始計算」即可看到以 [下限, 上限] 顯示的信賴區間，以及誤差範圍、標準誤差和 z 值，還有信賴區間公式的逐步分解過程。
計算信賴區間的技巧
大樣本使用 z
當樣本較大（通常 n ≥ 30）或已知母體標準差時，適合使用 z 信賴區間。對於 σ 未知的小樣本，應改用 t 區間以獲得更準確的結果。
樣本越大，區間越窄
由於標準誤差是 s ÷ √n，增大樣本數會縮小誤差範圍，使信賴區間變窄。將 n 增至四倍大約能使誤差範圍減半。
根據重要程度匹配信賴水準
對相同資料而言，99% 信賴區間比 95% 區間更寬。僅當錯失真實值代價高昂時才選擇更高的信賴水準，並接受隨之而來的更寬、更不精確的範圍。
報告誤差範圍
將結果表示為平均數 ± 誤差範圍，使讀者既能看到點估計，也能看到其不確定性。誤差範圍通常比單純的區間端點更直觀。
檢查你的假設
平均數的信賴區間假設資料是隨機樣本，且對於小樣本，假設其基礎分布大致呈常態。違反這些假設可能使區間產生誤導。
正確解讀
95% 信賴區間並不意味著真實平均數有 95% 的機率落在這一個區間內。它意味著，在多次抽樣中，以這種方式構造的區間有 95% 會包含真實平均數。
信賴區間公式與定義
信賴區間的定義
信賴區間是根據樣本資料估計出的母體參數的一組合理取值範圍。對於平均數，它以樣本平均數為中心，向兩側各延伸一個誤差範圍，寬度由信賴水準決定。
信賴區間能告訴你什麼
- 在給定樣本下，真實母體平均數的合理取值範圍。
- 你的估計有多精確——區間越窄，精度越高。
- 誤差範圍，即附加在樣本平均數上的不確定性。
- 信賴水準的選擇（90%、95%、99%）如何在精度與信賴度之間權衡。
z 區間與 t 區間——該用哪個
對於大樣本（通常 n ≥ 30）或已知母體標準差 σ，使用 z（常態）區間。對於 σ 未知的小樣本，使用基於 n − 1 自由度的 t 臨界值的 t 區間。
關鍵信賴區間公式
平均數的標準誤差
SE = s ÷ √n
範例：15 ÷ √30 ≈ 2.739。
誤差範圍
ME = z × SE
範例：95% 區間時 1.96 × 2.739 ≈ 5.368。
平均數的信賴區間
x̄ ± z × (s ÷ √n)
下限 = x̄ − ME，上限 = x̄ + ME。
z 臨界值
90% → 1.645，95% → 1.96，99% → 2.576
更大的 z 值給出更寬、信賴度更高的區間。
t 區間（小樣本）
x̄ ± t(n−1) × (s ÷ √n)
當 σ 未知且樣本較小時使用。
信賴區間計算機常見問題
Q01如何計算平均數的信賴區間？
用標準差除以樣本數的平方根求出標準誤差（SE = s ÷ √n）。將標準誤差乘以你所選信賴水準對應的 z 臨界值，得到誤差範圍（ME = z × SE）。信賴區間就是樣本平均數加減誤差範圍：x̄ ± ME。本計算機會為你完成每一步並展示計算過程。
Q02信賴區間公式是什麼？
對於使用 z（常態）區間的平均數，公式為 x̄ ± z × (s ÷ √n)，其中 x̄ 是樣本平均數，s 是標準差，n 是樣本數，z 是信賴水準對應的臨界值。區間從 x̄ − 誤差範圍 到 x̄ + 誤差範圍。
Q0395% 信賴區間應該用哪個 z 值？
對於 95% 信賴區間，雙尾 z 臨界值是 1.96。其他常見值為 90% 對應 1.645、98% 對應 2.326、99% 對應 2.576、99.9% 對應 3.291。當你選擇信賴水準時，本計算機會自動選取正確的 z 值。
Q04什麼是誤差範圍？
誤差範圍是為構成信賴區間而對樣本平均數加上和減去的量。它等於 z 臨界值乘以標準誤差（ME = z × s ÷ √n）。樣本數越大或信賴水準越低，誤差範圍越小。
Q05什麼時候用 z 區間，什麼時候用 t 區間？
當樣本較大（通常 n ≥ 30）或已知母體標準差 σ 時，使用本計算機所計算的 z 信賴區間。對於 σ 未知的小樣本，使用 t 區間——它用基於 n − 1 自由度的 t 臨界值代替 z。t 區間略寬、更保守。
Q06樣本數如何影響信賴區間？
增大樣本數會減小標準誤差（s ÷ √n），從而使信賴區間變窄，對平均數的估計更精確。由於含有平方根，你大約需要四倍的樣本數才能使誤差範圍減半。
Q07應該如何解讀 95% 信賴區間？
95% 信賴區間意味著，如果你多次重複抽樣並構造區間的過程，所得區間中約有 95% 會包含真實的母體平均數。它並不意味著真實平均數有 95% 的機率落在這個特定區間內。
Q08我的資料會被傳送到伺服器嗎？
不會。計算機使用 JavaScript 完全在你的瀏覽器中執行。你的輸入絕不會被上傳或儲存到任何地方，因此可放心用於私密或敏感資料。
Q09這款信賴區間計算機免費嗎？
是的，完全免費，沒有任何限制、無需註冊，也沒有付費版本。想計算多少個信賴區間和誤差範圍都可以。