斜率計算機
輸入兩點，即可用垂直變化與水平變化之比求出直線的斜率——並附上 y 軸截距、斜截式方程式、傾斜角、距離和中點，每一步過程都清楚呈現。
- 01用斜率公式 m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) 從兩點即時求出直線斜率。
- 02自動取得 y 軸截距和斜截式方程式 y = mx + b。
- 03一鍵查看垂直變化與水平變化之比、以度數表示的傾斜角、距離和中點。
- 04可處理垂直線（斜率不存在）、水平線、小數和負座標。
- 05100% 免費且私密——所有計算都在你的瀏覽器中完成。
斜率計算機
輸入直線上的兩點
點 1 (x₁, y₁)
點 2 (x₂, y₂)
試試範例點對
斜率 (m)
2
兩點之間垂直變化與水平變化之比
直線方程式
y = 2x
斜截式 y = mx + b
垂直變化 (Δy)
6
水平變化 (Δx)
3
傾斜角
63.434949°
y 軸截距 (b)
0
距離
6.708204
中點
(2.5, 5)
點斜式
y − 2 = 2(x − 1)
方向
上升（向上）
逐步計算過程
- 01兩點：(x₁, y₁) = (1, 2) 和 (x₂, y₂) = (4, 8)
- 02垂直變化 Δy = y₂ − y₁ = 8 − 2 = 6
- 03水平變化 Δx = x₂ − x₁ = 4 − 1 = 3
- 04斜率 m = 垂直變化 ÷ 水平變化 = 6 ÷ 3 = 2
- 05y 軸截距 b = y₁ − m·x₁ = 2 − (2)(1) = 0
- 06斜截式方程式：y = 2x
為什麼使用這款斜率計算機
從兩點求斜率
輸入任意兩點的座標，斜率計算機就會用斜率公式 m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) 即時求出直線的斜率。這是求兩點之間直線斜率（或梯度）最快的方法。
完整的直線方程式
除了斜率，你還能取得 y 軸截距和完整的斜截式方程式 y = mx + b，以及點斜式 y − y₁ = m(x − x₁)。可作為直線方程式計算機用於繪圖、代數作業和幾何。
垂直變化與水平變化之比，直觀呈現
計算機將斜率分解為垂直變化（Δy）和水平變化（Δx），讓你清楚看到這一比值是如何得出斜率的——非常適合學習和檢驗自己的運算。
角度、距離與中點
由 atan(m) 求出以度數表示的傾斜角、兩點之間的直線距離，以及線段的中點。一個工具同時涵蓋斜率、直線方程式、角度、距離和中點。
處理每一種情形
垂直線返回斜率不存在，水平線返回斜率為零，並完全支援小數和負座標。不遺漏任何邊界情形，因此答案始終正確。
即時、免費且私密
所有運算都在你的瀏覽器中進行，無需與伺服器通訊、無需註冊，也沒有限制。你的座標絕不會離開你的裝置，按下計算的那一刻即顯示結果。
什麼是直線的斜率？
直線的斜率衡量它有多陡——每向右走一步，它上升或下降多少。它定義為直線上任意兩點之間 y 的變化（垂直變化）除以 x 的變化（水平變化）。斜率越大，直線越陡；斜率為零表示水平線；垂直線的斜率不存在。
無論你是學習代數的學生、在圖上繪製直線，還是計算斜坡或道路坡度，這款斜率計算機都能為任意兩點提供即時、逐步的計算結果。
- 斜率公式
- 給定兩點 (x₁, y₁) 和 (x₂, y₂)，斜率為 m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)，常被記作垂直變化與水平變化之比。這款直線斜率計算機會為你套用公式，並展示每一步，讓你能跟上計算過程。
- 正、負、零與不存在的斜率
- 正斜率從左到右上升（向上），負斜率從左到右下降（向下），水平線的斜率為零，而垂直線的斜率不存在，因為水平變化（Δx）為零，會導致除以零。
- 從斜率到直線方程式
- 一旦知道斜率，斜截式 y = mx + b 就能描述整條直線，其中 b 是 y 軸截距（b = y₁ − m·x₁）。點斜式 y − y₁ = m(x − x₁) 是用斜率和一個點書寫同一條直線的另一種方式。
- 斜率作為角度和變化率
- 斜率也是直線傾斜角的正切，因此角度等於以度數表示的 arctan(m)。在現實意義上，斜率是一種變化率——每小時多少英里、每單位多少成本，或斜坡、道路坡度上每公尺的上升量。
如何使用斜率計算機
- 01
輸入第一個點
在 x₁ 和 y₁ 欄位中輸入第一個點的座標。支援小數和負數，因此你可以使用直線上的任意兩點。
- 02
輸入第二個點
在 x₂ 和 y₂ 欄位中輸入第二個點的座標。兩點必須不同；若 x₂ 等於 x₁，則直線為垂直，斜率不存在。
- 03
點擊「開始計算」
按下計算按鈕。工具會套用斜率公式 m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)，並即時返回斜率、y 軸截距、直線方程式、角度、距離和中點。
- 04
查看結果與步驟
標題卡片顯示斜率和斜截式方程式。下方則提供垂直變化、水平變化、傾斜角、y 軸截距、距離和中點，以及垂直變化與水平變化之比的逐步分解過程，便於學習和檢驗作業。
求直線斜率的技巧
保持兩點的順序
在分子和分母中以相同的順序相減座標：(y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)。只在其中一處交換順序會翻轉符號，得到錯誤的斜率。
留意垂直線
如果兩個 x 座標相等，水平變化為零，斜率不存在——直線是垂直的。這是最常見的陷阱，因為不允許除以零。計算機會為你標示出來。
注意符號
負座標和向下傾斜的直線會產生負斜率。仔細追蹤垂直變化和水平變化的符號；負斜率表示直線從左到右下降。
約簡分數
斜率通常以化簡後的分數或小數最為清楚。斜率 4/2 等於 2，6/8 化簡為 3/4——約簡能使垂直變化與水平變化之比在圖上更易讀。
用斜截式繪圖
一旦有了 m 和 y 軸截距 b，先畫出點 (0, b)，再以斜率作為垂直變化與水平變化之比走到下一個點。斜截式 y = mx + b 是手工繪製直線最快的方式。
記住平行與垂直規則
平行線斜率相同，而垂直線的斜率互為負倒數（乘積為 −1）。知道斜率即可即時檢驗這些關係。
斜率公式與定義
斜率的定義
斜率（也稱梯度）衡量直線的陡峭程度和方向。它是兩點之間垂直變化與水平變化的比值，寫作 m = 垂直變化 ÷ 水平變化。
斜率能告訴你什麼
- 直線有多陡——絕對值越大，直線越陡。
- 直線的方向——正斜率向上，負斜率向下。
- y 相對於 x 的變化率，例如速度、單位成本或道路坡度。
- 兩條直線是否平行（斜率相等）或垂直（斜率互為負倒數）。
斜率的特殊情形
水平線的斜率為零，而垂直線的斜率不存在，因為其水平變化為零。兩者都由本計算機自動處理。
關鍵斜率與直線公式
斜率（兩點）
m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)
範例：從 (1, 2) 到 (4, 8)，m = (8 − 2) / (4 − 1) = 2。
垂直變化與水平變化之比
m = 垂直變化 ÷ 水平變化 = Δy ÷ Δx
垂直變化除以水平變化。
斜截式
y = mx + b
b 是 y 軸截距，即直線與 y 軸的交點。
點斜式
y − y₁ = m(x − x₁)
使用斜率和直線上一個已知點。
y 軸截距
b = y₁ − m·x₁
已知斜率和一個點後求出 b。
傾斜角
θ = arctan(m)
斜率為 1 時與 x 軸成 45° 角。
兩點間距離
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
線段的直線長度。
中點
M = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2)
恰好位於兩點正中間的點。
斜率計算機常見問題
Q01如何從兩點求直線的斜率？
使用斜率公式 m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)。用第二個點的 y 座標減去第一個點的 y 座標得到垂直變化，以相同順序相減 x 座標得到水平變化，然後用垂直變化除以水平變化。本計算機會為你完成所有這些步驟並展示計算過程。
Q02斜率公式是什麼？
斜率公式是 m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)，其中 (x₁, y₁) 和 (x₂, y₂) 是直線上的兩點。它通常被描述為垂直變化與水平變化之比：垂直變化（rise）除以水平變化（run）。
Q03垂直變化與水平變化之比是什麼意思？
它是兩點之間的垂直變化（Δy）除以它們之間的水平變化（Δx）。它與斜率完全相同，因此斜率 = 垂直變化 ÷ 水平變化。垂直變化為 6、水平變化為 3 時，斜率為 2。
Q04垂直線的斜率是多少？
垂直線的斜率不存在。由於兩點共享相同的 x 座標，水平變化（Δx）為零，而除以零沒有定義。本計算機會偵測垂直線，並將斜率報告為不存在。
Q05水平線的斜率是多少？
水平線的斜率為零。兩點共享相同的 y 座標，因此垂直變化（Δy）為零，零除以水平變化為零。它的方程式就是 y = b，其中 b 是常數 y 值。
Q06如何求 y 軸截距和直線方程式？
求出斜率 m 後，用你的其中一個點計算 y 軸截距 b = y₁ − m·x₁。然後直線寫成斜截式 y = mx + b。計算機會返回 y 軸截距和完整方程式，以及點斜式 y − y₁ = m(x − x₁)。
Q07直線的角度與斜率有什麼關係？
斜率等於直線傾斜角的正切，因此角度是 arctan(m)，從正 x 軸量起。斜率為 1 對應 45° 角。本工具會在斜率旁以度數報告角度。
Q08這款斜率計算機免費嗎？
是的，完全免費，沒有任何限制、無需註冊，也沒有付費版本。它完全在你的瀏覽器中執行，因此你的座標絕不會被上傳，想求多少條直線的斜率都可以。