平方根計算機（根號計算）
輸入任意數字即可求出它的平方根，以小數和最簡根式形式呈現——例如 √72 = 6√2——並展示每一步。還能辨識完全平方數並給出立方根。
- 01即時求出任意數字的平方根的精確小數值。
- 02把平方根化簡為最簡根式形式，例如 √72 = 6√2。
- 03辨識完全平方數並顯示化簡後的整數結果。
- 04在每個結果旁同時給出立方根和原始數字。
- 05100% 免費且私密——所有計算都在你的瀏覽器中完成。
平方根計算機（根號計算）
試試範例數字
平方根 (√N)
8.485281
以小數表示的算術平方根
最簡根式形式
62
提出最大完全平方因數後的精確形式
是否為完全平方數
否
立方根 (∛N)
4.160168
原始數字
72
逐步計算過程
- 01提出最大的完全平方因數：72 = 36 × 2。
- 02拆分根式：√{{n}} = √36 × √2 = 6√2。
- 03最簡根式形式：√N = 6√2 ≈ 8.485281。
為什麼使用這款平方根計算機
小數與精確根式形式
以兩種方式得到一個數的平方根：精確的小數值和最簡根式形式的精確答案。例如，計算器會把 √72 表示為 6√2 和 8.485281，方便你按作業、考試或專案所需選用任一形式。
自動化簡根式
這款平方根化簡器會提出最大的完全平方因數，使每個根式都化簡到最簡形式，根號下保留一個無平方因數的數。輸入 √200 它回傳 10√2；輸入 √45 它回傳 3√5——無需手動分解。
完全平方數辨識
即時判斷一個數是否為完全平方數。如果是，根號會消失，你會得到一個乾淨的整數結果——√144 = 12、√169 = 13——讓你在練習或檢查時輕鬆發現完全平方數。
逐步過程
清楚展示每個平方根是如何化簡的：找出最大的完全平方因數、拆分根式，並把係數提到根號外。逐步說明使它成為學習手動化簡平方根的好工具。
立方根及更多
除了平方根，計算器還會給出該數的立方根並回顯原始值，在一處為你提供該數各種根的快速、完整概覽——便於比較根式與各種根。
即時、免費且私密
一切都完全在你的瀏覽器中執行，無需與伺服器通訊、無需註冊、也沒有任何限制。你的數字絕不會離開你的裝置，輸入的瞬間即出結果，想化簡多少根式都免費。
什麼是平方根？
數 N 的平方根是某個值，它與自身相乘等於 N。它用根號 √ 書寫，所以 √25 = 5，因為 5 × 5 = 25。每個正數都有兩個平方根——一正一負——但根號指的是算術（非負）平方根。平方根在代數、幾何、畢氏定理、統計學和物理學中都是基礎。
無論你是為代數化簡根式的學生、準備例題的老師，還是任何需要快速求出一個數平方根的人，這款平方根計算機都能即時給出小數值、精確的最簡根式形式以及清晰的逐步說明。
- 完全平方數與無理根
- 完全平方數是平方根為整數的數，例如 1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、121 和 144。當 N 不是完全平方數時，它的平方根是一個小數不循環的無理數——例如 √2 ≈ 1.41421356——因此通常更傾向於用精確的根式形式書寫。
- 最簡根式形式
- 化簡平方根意味著把它改寫為根號下的數（被開方數）除 1 外沒有完全平方因數。做法是找出能整除 N 的最大完全平方數，把它的根提到根號外作為係數，其餘留在根號下。例如 √72 = √(36 × 2) = 6√2。
- 如何化簡平方根
- 把被開方數分解為一個完全平方數乘以餘下的因數，用 √(a × b) = √a × √b 拆分根式，然後求出完全平方部分。無平方因數的數留在根號下。這就是這款根式計算機自動完成並逐步展示的標準方法。
- 負數的平方根
- 負數的平方根不是實數，而是虛數。計算器把它表示為 i 的倍數，其中 i = √-1。例如 √-9 = 3i，因為 (3i)² = 9i² = -9。虛數和複數擴展了實數線，在高等數學和工程中不可或缺。
如何使用平方根計算機
- 01
輸入一個數字
在輸入框中鍵入或貼上單個數字——例如 72。支援像 0.25 這樣的小數和像 -16 這樣的負數，因此你幾乎可以求任意值的平方根。
- 02
點擊「開始計算」
按下計算按鈕（或按 Enter 鍵）。工具會在瀏覽器中即時計算平方根、化簡根式、檢查該數是否為完全平方數，並求出立方根。
- 03
查看結果
頂部的卡片顯示小數平方根和最簡根式形式（例如 6√2）。下方你可以看到該數是否為完全平方數、它的立方根，以及你輸入的原始數字。
- 04
研讀計算步驟
展開逐步計算區段，查看根式是如何化簡的：最大的完全平方因數、根式如何拆分，以及係數如何提到根號外。非常適合學習和檢查自己的運算。
化簡平方根的技巧
記住完全平方數
記住 144 以內（甚至更大）的完全平方數（1、4、9、16、25、……、144）能讓化簡根式快得多，因為你能立刻看出任何被開方數中最大的完全平方因數。
提出最大的平方因數
始終一步提出最大的完全平方因數，而不是分多步。√72 用 36 直接化簡為 6√2，而不是用 4 得到 2√18——後者還需要繼續化簡。先提最大的平方因數能省功夫。
保留無平方因數的被開方數
只有當根號下的數除 1 外沒有完全平方因數時，平方根才是最簡形式。如果你還能提出一個平方因數，說明根式還沒完全化簡——繼續做下去，直到被開方數無平方因數。
盡量保留精確形式
為了得到精確答案，優先使用根式形式（例如 6√2）而非四捨五入的小數。小數會引入捨入誤差，而化簡後的根式是精確的——這在代數、幾何和三角學中很重要。
注意負數輸入
負數的平方根是虛數，而非無定義。用 i 表示它（例如 √-25 = 5i）。不要把它和立方根混淆——立方根對負數有定義且保持為實數。
用小數核對
化簡後，把根式的小數值與計算器的結果作比較來驗證。如果 6√2 和 8.485281 相符，說明你的化簡正確——這是一種能發現分解錯誤的快速合理性檢查。
平方根公式與定義
平方根的定義
N 的平方根是滿足 x² = N 的數 x。算術平方根寫作 √N，是非負的那個值。對於正數 N 有兩個平方根 +√N 和 -√N，但按慣例 √N 表示正的那個。
化簡根式意味著什麼
- 把 √N 改寫為一個係數乘以一個更小的根式，例如 √72 = 6√2。
- 提出最大的完全平方因數，使被開方數無平方因數。
- 保留精確值而非四捨五入為小數。
- 完全平方數化簡為整數，不留根號。
平方根與立方根
平方根是平方（x²）的逆運算，而立方根是立方（x³）的逆運算。負數的平方根是虛數，但負數的立方根是實數——例如 ∛-27 = -3。
關鍵平方根公式
定義
√N = x，其中 x ≥ 0 且 x² = N
範例：√25 = 5，因為 5² = 25。
根式的乘積法則
√(a × b) = √a × √b
用於分離出一個完全平方數，例如 √72 = √36 × √2。
最簡根式形式
√N = c√r，其中 c² 是 N 最大的完全平方因數，r 無平方因數
範例：√72 = 6√2，因為 72 = 36 × 2。
完全平方數
若 √N 為整數，則 N 是完全平方數
範例：144 是完全平方數，因為 √144 = 12。
虛數平方根
√(-N) = √N · i，其中 i = √-1
範例：√-9 = 3i。
立方根
∛N = x，其中 x³ = N
範例：∛64 = 4，且 ∛-27 = -3。
平方根計算機常見問題
Q01怎麼求一個數的平方根？
數 N 的平方根是與自身相乘得到 N 的那個值。對於完全平方數，答案是整數——√81 = 9。對於其他數，它是一個無理小數，例如 √10 ≈ 3.162278。這款平方根計算機會給出小數值，並在可能時給出精確的最簡根式形式，還附上逐步過程。
Q02怎麼化簡平方根？
要化簡平方根，找出能整除根號下數字的最大完全平方數，把它的根提到根號外作為係數，餘下的無平方因數留在根號下。例如 √72 = √(36 × 2) = 6√2。計算器會自動完成並展示每一步。
Q03什麼是最簡根式形式？
最簡根式形式是指根號下的數（被開方數）除 1 外沒有完全平方因數，且任何分母中都沒有根號。例如，√50 的最簡根式形式是 5√2，√45 是 3√5。如果一個數是完全平方數，它的最簡形式就是一個整數。
Q04什麼是完全平方數？
完全平方數是平方根為整數的數，例如 1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、121 和 144。對完全平方數取平方根時，根號會消失，你會得到一個整數——例如 √144 = 12。計算器會標記你的數是否為完全平方數。
Q05這款計算機能化簡像 √72 這樣的根式嗎？
可以。輸入 72，計算器會回傳最簡根式形式 6√2 以及小數 8.485281。它可作為任意非負整數的根式計算機和平方根化簡器，自動提出最大的完全平方因數。
Q06負數的平方根是多少？
負數的平方根是虛數，寫作 i 的倍數，其中 i = √-1。例如 √-9 = 3i，因為 (3i)² = -9。本計算器會辨識負數輸入，並以 Ni 的形式顯示結果，讓你能正確地處理虛數。
Q07它對小數有效嗎？
有效。你可以輸入像 0.25 或 2.5 這樣的小數，計算器會回傳小數平方根——例如 √0.25 = 0.5。最簡根式形式僅對整數顯示，因為根式化簡適用於整數；對於小數，計算器會顯示小數值。
Q08這款平方根計算機免費嗎？
是的，完全免費，沒有任何限制、無需註冊，也沒有付費版本。想對多少個數字求平方根、化簡根式、辨識完全平方數和求立方根都可以，完全在你的瀏覽器中進行。