標準差計算器
輸入一組數字，即可計算樣本標準差、母體標準差、變異數、平均值和標準誤差——每一個步驟都清楚呈現。
- 01即時計算樣本標準差（n − 1）和母體標準差（n）。
- 02一鍵取得變異數、平均值、中位數、全距和標準誤差。
- 03使用標準差公式展示逐步計算過程。
- 04貼上以逗號、空格或換行分隔的數字即可。
- 05100% 免費且私密——所有計算都在你的瀏覽器中完成。
標準差計算器
試試範例資料集
樣本標準差 (s)
5.237229
除以 n − 1 —— 用於樣本
母體標準差 (σ)
4.898979
除以 n —— 用於完整母體
資料個數 (n)
8
總和 (Σx)
144
平均值 (x̄)
18
中位數
18.5
樣本變異數 (s²)
27.428571
母體變異數 (σ²)
24
標準誤差 (SEx̄)
1.85164
變異係數
29.095719%
最小值
10
最大值
23
全距
13
平方和 (SS)
192
逐步計算過程
- 01平均值 x̄ = Σx ÷ n = 144 ÷ 8 = 18
- 02離差平方和 Σ(x − x̄)² = 192
- 03母體變異數 σ² = Σ(x − x̄)² ÷ n = 192 ÷ 8 = 24
- 04樣本變異數 s² = Σ(x − x̄)² ÷ (n − 1) = 192 ÷ 7 = 27.428571
- 05母體標準差 σ = √σ² = 4.898979
- 06樣本標準差 s = √s² = 5.237229
顯示離差表 (x − x̄)
| 數值 (x) | 離差 (x − x̄) | 離差平方 (x − x̄)² |
|---|---|---|
| 10 | -8 | 64 |
| 12 | -6 | 36 |
| 23 | 5 | 25 |
| 23 | 5 | 25 |
| 16 | -2 | 4 |
| 23 | 5 | 25 |
| 21 | 3 | 9 |
| 16 | -2 | 4 |
為什麼使用這款標準差計算器
樣本標準差與母體標準差
同時取得樣本標準差（除以 n − 1）和母體標準差（除以 n），無論你處理的是樣本還是整個母體，都能為統計問題用上正確的數值。
逐步計算過程
清楚展示標準差是如何計算出來的：平均值、每個數據與平均值的離差、離差平方、平方和、變異數，以及最後的開平方根。非常適合寫作業、考試複習和檢驗自己的運算。
完整的敘述統計量
除了標準差，計算器還會提供變異數、平均值、中位數、全距、最小值、最大值、平方和、平均值的標準誤差以及變異係數——為你的資料集提供完整的統計摘要。
靈活的資料輸入
可貼上以逗號、空格、定位字元或換行分隔的數字。支援小數和負數，因此你可以直接將試算表中的一欄資料貼進來，無需重新調整格式。
即時且私密
所有運算完全在你的瀏覽器中進行，無需與伺服器通訊。你的資料絕不會離開你的裝置，結果即時顯示，也無需註冊或安裝。
完全免費無限制
想計算多少個資料集的標準差都可以——沒有每日限制、不需要帳號，也沒有付費牆。這款完整的統計計算器完全免費。
什麼是標準差？
標準差是衡量一組數字圍繞其平均值（均值）分散程度的指標。標準差較小代表數值緊密聚集在平均值附近，而標準差較大則代表它們分布在更廣的範圍內。它是統計學、金融、科學和品質管理中最常用的離散程度量數之一。
無論你是學習統計學的學生、分析資料的研究人員，還是衡量風險的分析師，這款標準差計算器都能為任何資料集提供即時、逐步的計算結果。
- 樣本標準差與母體標準差
- 母體標準差（σ）將離差平方和除以 n，當資料涵蓋整個母體時使用。樣本標準差（s）除以 n − 1（貝索校正），當資料是從更大母體中抽取的樣本時使用。本計算器同時顯示兩者。
- 與變異數的關係
- 變異數是各數據與平均值離差平方的平均值，而標準差就是變異數的平方根。標準差通常更受青睞，因為它與原始資料使用相同的單位，更容易解讀。
- 標準差公式
- 計算標準差的步驟：先求平均值，用每個數值減去平均值得到離差，將每個離差平方，再相加得到平方和，然後除以 n（母體）或 n − 1（樣本）得到變異數，最後開平方根。
- 為什麼標準差很重要
- 標準差告訴你一個平均值有多可靠，以及各個數值通常與它相差多少。它是信賴區間、z 分數、常態分布、金融風險以及製造業製程管制的基礎。
如何使用標準差計算器
- 01
輸入你的數字
在輸入框中鍵入或貼上你的資料集。以逗號、空格或換行分隔數值——例如 10, 12, 23, 23, 16, 23, 21, 16。支援小數和負數。
- 02
點擊「開始計算」
按下計算按鈕。工具會解析你的數字，並在瀏覽器中即時計算平均值、變異數以及樣本標準差和母體標準差。
- 03
查看計算結果
頂部的卡片顯示樣本標準差（s）和母體標準差（σ）。下方則提供平均值、中位數、變異數、標準誤差、全距和平方和，讓你全面了解資料。
- 04
研讀計算步驟
展開逐步計算區段和離差表，查看每個數值的貢獻——與平均值的離差、離差平方、平方和以及最後的開平方根。非常適合學習和檢驗作業。
計算標準差的技巧
選擇樣本還是母體
當資料是從更大群體中抽取的子集時使用樣本標準差（n − 1），當資料包含群體的每一個成員時使用母體標準差（n）。選錯是最常見的錯誤。
檢查你的單位
標準差與資料的單位相同，而變異數是單位的平方。在與平均值一起報告離散程度時，標準差通常是更清楚的選擇。
留意離群值
由於離差被平方，標準差對極端值很敏感。單一離群值就可能使其大幅升高，因此在下結論前應檢查資料，並考慮離群值是否真實可信。
與平均值搭配使用
標準差只有相對於平均值才有意義。將兩者一起報告（例如 18 ± 4.5）比單獨給出任一數值都能更清楚地說明你的資料。
善用變異係數
要比較平均值或單位不同的資料集之間的變異性，可使用變異係數（標準差 ÷ 平均值），它以百分比表示離散程度且不受單位影響。
保留足夠的精度
不要太早對平均值或中間離差四捨五入——在最後一步之前捨入可能會引入明顯的誤差。僅在報告最終標準差時再進行捨入。
標準差公式與定義
標準差的定義
標準差衡量資料集中每個數值與平均值之間的典型距離。它是變異數的平方根，並以與資料相同的單位報告。
標準差能告訴你什麼
- 數值圍繞平均值聚集的緊密程度（越小越一致）。
- 平均值作為資料概括的可靠程度。
- z 分數、信賴區間和常態分布的基礎。
- 金融和品質管理中風險或波動性的量數。
樣本還是母體——該用哪個
當資料是更大群體的樣本時使用樣本標準差（÷ n − 1），當資料代表整個母體時使用母體標準差（÷ n）。
關鍵統計公式
平均值
x̄ = Σx ÷ n
範例：(2 + 4 + 6) ÷ 3 = 4。
母體變異數
σ² = Σ(x − x̄)² ÷ n
各數據與平均值離差平方的平均值。
樣本變異數
s² = Σ(x − x̄)² ÷ (n − 1)
使用 n − 1（貝索校正）得到不偏估計。
母體標準差
σ = √(Σ(x − x̄)² ÷ n)
母體變異數的平方根。
樣本標準差
s = √(Σ(x − x̄)² ÷ (n − 1))
樣本變異數的平方根。
平均值的標準誤差
SEx̄ = s ÷ √n
樣本平均值對母體平均值估計的精確程度。
標準差計算器常見問題
Q01標準差怎麼算？
先求出資料的平均值，用每個數值減去平均值得到離差，將每個離差平方，再相加得到平方和，然後對母體除以 n、對樣本除以 n − 1 得到變異數。標準差就是變異數的平方根。本計算器會為你完成所有這些步驟並展示計算過程。
Q02樣本標準差和母體標準差有什麼區別？
母體標準差（σ）將離差平方和除以 n，當資料包含整個母體時使用。樣本標準差（s）除以 n − 1（貝索校正），當資料是來自更大母體的樣本時使用。計算器會同時給出兩者，方便你選用適合自己問題的那一個。
Q03標準差公式是什麼？
母體：σ = √(Σ(x − x̄)² ÷ n)。樣本：s = √(Σ(x − x̄)² ÷ (n − 1))。兩個公式中，x̄ 是平均值，x 是每個數值，n 是數值個數。標準差是變異數的平方根。
Q04標準差和變異數有什麼關係？
變異數是各數據與平均值離差平方的平均值。標準差是變異數的平方根。變異數的單位是平方單位，而標準差與原始資料單位相同，因此更容易解讀。
Q05什麼是平均值的標準誤差？
平均值的標準誤差（SEM）估計的是樣本平均值與真實母體平均值之間可能相差多少。它等於樣本標準差除以 n 的平方根。標準誤差越小，代表對平均值的估計越精確。
Q06可以輸入小數和負數嗎？
可以。你能輸入整數、小數和負數，以逗號、空格或換行分隔。計算器會解析全部數值並忽略多餘的空格，因此可以直接從試算表貼上一整欄。
Q07我的資料會被傳送到伺服器嗎？
不會。計算器使用 JavaScript 完全在你的瀏覽器中執行。你的數字絕不會被上傳或儲存到任何地方，因此可放心用於私密或敏感資料。
Q08這款標準差計算器免費嗎？
是的，完全免費，沒有任何限制、無需註冊，也沒有付費版本。想計算多少個資料集的標準差和變異數都可以。