變異數計算機
輸入一組數字，即可計算樣本變異數 (s²) 和母體變異數 (σ²)，以及平均值、平方和和標準差——每一個步驟都清楚呈現。
- 01即時計算樣本變異數（÷ n − 1）和母體變異數（÷ n）。
- 02一鍵取得平均值、平方和和標準差。
- 03使用變異數公式展示逐步計算過程。
- 04貼上以逗號、空格或換行分隔的數字即可。
- 05100% 免費且私密——所有計算都在你的瀏覽器中完成。
變異數計算機
試試範例資料集
樣本變異數 (s²)
3.5
除以 n − 1 —— 用於樣本
母體變異數 (σ²)
2.916667
除以 n —— 用於完整母體
平均值 (x̄)
5.5
資料個數 (n)
6
總和 (Σx)
33
平方和 (SS)
17.5
樣本標準差 (s)
1.870829
母體標準差 (σ)
1.707825
逐步計算過程
- 01平均值 x̄ = Σx ÷ n = 33 ÷ 6 = 5.5
- 02離差平方和 Σ(x − x̄)² = 17.5
- 03母體變異數 σ² = Σ(x − x̄)² ÷ n = 17.5 ÷ 6 = 2.916667
- 04樣本變異數 s² = Σ(x − x̄)² ÷ (n − 1) = 17.5 ÷ 5 = 3.5
- 05母體標準差 σ = √σ² = √2.916667 = 1.707825
- 06樣本標準差 s = √s² = √3.5 = 1.870829
顯示離差表 (x − x̄)
| 數值 (x) | 離差 (x − x̄) | 離差平方 (x − x̄)² |
|---|---|---|
| 4 | -1.5 | 2.25 |
| 8 | 2.5 | 6.25 |
| 6 | 0.5 | 0.25 |
| 5 | -0.5 | 0.25 |
| 3 | -2.5 | 6.25 |
| 7 | 1.5 | 2.25 |
為什麼使用這款變異數計算機
樣本變異數與母體變異數
同時取得樣本變異數（除以 n − 1）和母體變異數（除以 n），無論你處理的是樣本還是整個母體，都能為統計問題用上正確的數值。
逐步計算過程
清楚展示變異數是如何計算出來的：平均值、每個數據與平均值的離差、離差平方、平方和，以及最後除以 n 或 n − 1。非常適合寫作業、考試複習和檢驗自己的運算。
變異數與標準差
除了變異數，計算機還會提供樣本標準差和母體標準差——即各自變異數的平方根——這樣你無需第二個工具，就能用與資料相同的單位讀出離散程度。
靈活的資料輸入
可貼上以逗號、空格、定位字元或換行分隔的數字。支援小數和負數，因此你可以直接將試算表中的一欄資料貼進來，無需重新調整格式。
即時且私密
所有運算完全在你的瀏覽器中進行，無需與伺服器通訊。你的資料絕不會離開你的裝置，結果即時顯示，也無需註冊或安裝。
完全免費無限制
想計算多少個資料集的變異數都可以——沒有每日限制、不需要帳號，也沒有付費牆。這款完整的變異數和標準差計算機完全免費。
什麼是變異數？
變異數是衡量一組數字圍繞其平均值（均值）分散程度的指標。它是各數據與平均值離差平方的平均值：變異數較小代表數值聚集在平均值附近，而變異數較大則代表它們分布在更廣的範圍內。變異數是統計學、金融、科學和品質管理中最基礎的變異性量數之一。
無論你是學習統計學的學生、分析資料的研究人員，還是衡量風險的分析師，這款變異數計算機都能為任何資料集提供即時、逐步的計算結果。
- 樣本變異數與母體變異數
- 母體變異數（σ²）將離差平方和除以 n，當資料涵蓋整個母體時使用。樣本變異數（s²）除以 n − 1（貝索校正），當資料是從更大母體中抽取的樣本時使用。這款變異數計算機同時顯示兩者。
- 變異數與標準差的關係
- 標準差就是變異數的平方根。變異數以平方單位表示，而標準差與原始資料使用相同的單位。兩者描述的是同一種離散程度——本計算機會同時給出變異數和標準差。
- 變異數公式
- 計算變異數的步驟：先求平均值，用每個數值減去平均值得到離差，將每個離差平方，再相加得到平方和，然後除以 n（母體變異數）或 n − 1（樣本變異數）。
- 為什麼變異數很重要
- 變異數量化了各個數值通常與平均值相差多少。它是標準差、信賴區間、常態分布、變異數分析（ANOVA）、金融中的投資組合風險以及製造業製程管制的基礎。
如何使用變異數計算機
- 01
輸入你的數字
在輸入框中鍵入或貼上你的資料集。以逗號、空格或換行分隔數值——例如 4, 8, 6, 5, 3, 7。支援小數和負數。
- 02
點擊「開始計算」
按下計算按鈕。工具會解析你的數字，並在瀏覽器中即時計算平均值、平方和以及樣本變異數和母體變異數。
- 03
查看計算結果
頂部的卡片顯示樣本變異數（s²）和母體變異數（σ²）。下方則提供平均值、資料個數、平方和以及對應的樣本標準差和母體標準差，讓你全面了解資料。
- 04
研讀計算步驟
展開逐步計算區段和離差表，查看每個數值的貢獻——與平均值的離差、離差平方、平方和以及最後的除法。非常適合學習和檢驗作業。
計算變異數的技巧
選擇樣本還是母體
當資料是從更大群體中抽取的子集時使用樣本變異數（n − 1），當資料包含群體的每一個成員時使用母體變異數（n）。選錯除數是計算變異數時最常見的錯誤。
注意單位
變異數以資料單位的平方表示，可能不便於直接解讀。當你需要用原始單位表示離散程度時，可開平方根得到標準差，本計算機會在變異數旁一併給出。
留意離群值
由於離差在求和前被平方，變異數對極端值非常敏感。單一離群值就可能使其大幅升高，因此在下結論前應檢查資料，並考慮離群值是否真實可信。
保持平均值的精度
變異數依賴於平均值，因此不要太早對平均值或中間離差四捨五入。在最後一步之前捨入可能會引入明顯的誤差——僅在報告最終變異數時再進行捨入。
與標準差對比
向一般讀者說明離散程度時，標準差通常比變異數更清楚，因為它與資料共享相同的單位。計算時報告變異數，解讀時報告標準差。
檢查平方和
離差平方和（SS）是變異數的基本組成部分。對照離差表核對 SS，是確認變異數結果正確與否的快捷方法。
變異數公式與定義
變異數的定義
變異數衡量資料集中每個數值平均而言與平均值相距多遠。它是各數據與平均值離差平方的平均值，以資料單位的平方報告。標準差是它的平方根。
變異數能告訴你什麼
- 數值圍繞平均值聚集的緊密程度（越小越一致）。
- 標準差背後所對應的平方離散程度。
- 常態分布、變異數分析（ANOVA）和信賴區間的基礎。
- 金融和品質管理中風險或波動性的量數。
樣本還是母體——該用哪個
當資料是更大群體的樣本時使用樣本變異數（÷ n − 1），當資料代表整個母體時使用母體變異數（÷ n）。
關鍵變異數公式
平均值
x̄ = Σx ÷ n
範例：(2 + 4 + 6) ÷ 3 = 4。
平方和
SS = Σ(x − x̄)²
將各數據與平均值的離差平方相加。
母體變異數
σ² = Σ(x − x̄)² ÷ n
各數據與平均值離差平方的平均值。
樣本變異數
s² = Σ(x − x̄)² ÷ (n − 1)
使用 n − 1（貝索校正）得到不偏估計。
母體標準差
σ = √σ²
母體變異數的平方根。
樣本標準差
s = √s²
樣本變異數的平方根。
變異數計算機常見問題
Q01變異數怎麼算？
先求出資料的平均值，用每個數值減去平均值得到離差，將每個離差平方，再相加得到平方和，然後對母體除以 n、對樣本除以 n − 1。所得結果即為變異數。本計算機會為你完成所有這些步驟並展示計算過程。
Q02樣本變異數和母體變異數有什麼區別？
母體變異數（σ²）將離差平方和除以 n，當資料包含整個母體時使用。樣本變異數（s²）除以 n − 1（貝索校正），當資料是來自更大母體的樣本時使用。計算機會同時給出兩者，方便你選用適合自己問題的那一個。
Q03變異數公式是什麼？
母體變異數：σ² = Σ(x − x̄)² ÷ n。樣本變異數：s² = Σ(x − x̄)² ÷ (n − 1)。兩個公式中，x̄ 是平均值，x 是每個數值，n 是數值個數。變異數是各數據與平均值離差平方的平均值。
Q04變異數和標準差有什麼關係？
標準差是變異數的平方根。變異數以平方單位表示，而標準差與原始資料單位相同，因此更容易解讀。這款變異數和標準差計算機會同時給出兩者。
Q05為什麼樣本變異數要除以 n − 1？
除以 n − 1 而非 n 稱為貝索校正。它修正了一種偏差：由於樣本平均值比真實母體平均值更貼近樣本自身的數值，因此會產生偏差。使用 n − 1 可從樣本得到母體變異數的不偏估計。
Q06可以輸入小數和負數嗎？
可以。你能輸入整數、小數和負數，以逗號、空格或換行分隔。計算機會解析全部數值並忽略多餘的空格，因此可以直接從試算表貼上一整欄。
Q07我的資料會被傳送到伺服器嗎？
不會。變異數計算機使用 JavaScript 完全在你的瀏覽器中執行。你的數字絕不會被上傳或儲存到任何地方，因此可放心用於私密或敏感資料。
Q08這款變異數計算機免費嗎？
是的，完全免費，沒有任何限制、無需註冊，也沒有付費版本。想計算多少個資料集的樣本變異數、母體變異數和標準差都可以。