一元二次方程计算器
输入系数 a、b、c，即可用求根公式求解 ax² + bx + c = 0——获取实根或复根、判别式、顶点和对称轴，每一步过程都清晰呈现。
- 01用求根公式即时求解任意一元二次方程 ax² + bx + c = 0。
- 02自动获取两个实根、重根或一对共轭复根。
- 03查看判别式 b² − 4ac 及其对根的性质的说明。
- 04一键求出抛物线的顶点和对称轴。
- 05查看将你的数值代入求根公式的逐步计算过程。
- 06100% 免费且私密——所有计算均在你的浏览器中完成。
一元二次方程计算器
输入 ax² + bx + c = 0 的系数
1x² + −3x + 2 = 0
试试示例方程
根 x₁
2
ax² + bx + c = 0 的实数解
根 x₂
1
ax² + bx + c = 0 的实数解
判别式 (b² − 4ac)
1
根的性质
两个不同的实根
对称轴
x = 1.5
顶点 (h, k)
(1.5, −0.25)
顶点 x (h)
1.5
顶点 y (k)
−0.25
系数 a
1
系数 b
−3
逐步计算过程
- 01求根公式：x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a
- 02代入数值：x = (−(−3) ± √((−3)² − 4 · 1 · 2)) ÷ (2 · 1)
- 03判别式 b² − 4ac = (−3)² − 4 · 1 · 2 = 1
- 04两个实根：x₁ = 2，x₂ = 1
为什么使用这款一元二次方程计算器
实根与复根
计算器会自动检测你的一元二次方程是有两个不同的实根、一个重实根，还是一对共轭复根，并将复根整洁地格式化为 p ± q i。无论判别式如何，你总能得到正确的一元二次方程的根。
逐步套用求根公式
清晰展示求根公式是如何套用的：公式本身、代入的 a、b、c 数值、判别式 b² − 4ac 以及最终的根。在你求解一元二次方程时，非常适合做作业、备考复习和检验自己的运算。
判别式与根的性质
判别式计算器会算出 b² − 4ac 并说明其含义：大于零给出两个实根，等于零给出一个重根，小于零给出复根。理解判别式是掌握一元二次方程的关键。
顶点与对称轴
除根之外，计算器还会求出抛物线的顶点 (h, k) 和对称轴 x = −b ÷ 2a，让你能绘制 y = ax² + bx + c 的图像并一眼理解其形状。
即时且私密
所有运算完全在你的浏览器中进行，无需与服务器通信。你的方程绝不会离开你的设备，结果会像一元二次方程求解器应有的那样即时显示，无需注册或安装。
完全免费无限制
想求解多少个一元二次方程都可以——没有每日限制、无需账号，也没有付费墙。这款完整的求根公式计算器完全免费。
什么是一元二次方程？
一元二次方程是任何可写成标准形式 ax² + bx + c = 0 的方程，其中 a、b、c 为常数且 a 不为零。满足方程的 x 值称为根或解，一元二次方程总是恰好有两个根（它们可能相等，也可能是复数）。一元二次方程在代数、物理、工程和经济学中无处不在。
无论你是学习如何求解一元二次方程的学生、准备例题的教师，还是核对计算的工程师，这款一元二次方程计算器都能用求根公式为任意 a、b、c 提供即时、逐步的计算结果。
- 求根公式
- 求根公式 x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a 直接根据系数求解任意一元二次方程。本计算器使用求根公式并展示每一步代入，让你能准确跟随一元二次方程的根是如何求出的。
- 判别式
- 判别式是根号下的部分 b² − 4ac。它决定根的性质：若为正则有两个不同的实根，若为零则有一个重实根，若为负则有两个共轭复根。判别式计算器是在求解之前对一元二次方程进行分类的最快方法。
- 实根与复根
- 当判别式为负时，负数的平方根是虚数，因此根为写作 p ± q i 的复数，其中实部 p 等于 −b ÷ 2a，虚部大小 q 等于 √(−(b² − 4ac)) ÷ 2a。计算器会为你自动格式化这些共轭根。
- 顶点、对称轴与抛物线
- 一元二次方程的图像是抛物线。其顶点位于 x = −b ÷ 2a，y = c − b² ÷ 4a，对称轴是过该顶点的竖直线 x = −b ÷ 2a。在掌握如何求解一元二次方程的同时理解顶点，会使画图和最优化问题容易得多。
如何使用一元二次方程计算器
- 01
将方程写成标准形式
整理方程，使所有项都在一侧，写成 ax² + bx + c = 0。例如，x² = 3x − 2 变为 x² − 3x + 2 = 0，得到 a = 1、b = −3、c = 2。记住 a 不能为零，方程才是一元二次方程。
- 02
输入系数 a、b、c
在三个输入框中输入系数 a（x² 前的数）、b（x 前的数）和常数 c。支持小数和负数，因此任何一元二次方程都适用。
- 03
点击「开始求解」
按下求解按钮。求根公式计算器会算出判别式、套用求根公式，并在浏览器中即时返回根——无论是实根还是复根。
- 04
查看根与步骤
标题卡片显示一元二次方程的根。下方则提供判别式、根的性质、顶点和对称轴，以及展示你的数值代入求根公式的逐步部分。非常适合学习和检验作业。
求解一元二次方程的技巧
始终使用标准形式
在读取 a、b、c 之前，将所有项移到一侧，使方程等于零。弄错系数的符号是人们用求根公式求解一元二次方程时最常见的错误。
先检查判别式
先于一切计算先算出 b² − 4ac。判别式的符号会立刻告诉你应预期两个实根、一个重根还是一对共轭复根，有助于核对最终答案。
注意 b 的符号
求根公式以 −b 开头，因此负的 b 在公式内变为正。像 −(−3) 这样将 b 用括号括起来，可在代入求根公式时防止符号错误。
简单时尝试因式分解
若一元二次式能整洁地因式分解，因式分解可能比公式更快。不过求根公式始终有效，因此可用本计算器确认你通过因式分解求出的一元二次方程的根。
保留足够的精度
不要过早地对判别式或其平方根进行四舍五入——在最后一步之前舍入可能引入明显的误差。仅在报告最终的根时再进行舍入。
用顶点画图
一旦有了根和顶点，就能快速绘制抛物线：对称轴过顶点，而根是曲线与 x 轴的交点。
求根公式定义与关键公式
一元二次方程的定义
一元二次方程是形如 ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）的二次多项式方程。它的解称为根，即抛物线 y = ax² + bx + c 与 x 轴交点处的 x 值。
判别式能告诉你什么
- 判别式 > 0：两个不同的实根（抛物线与 x 轴相交两次）。
- 判别式 = 0：一个重实根（抛物线在顶点处与 x 轴相切）。
- 判别式 < 0：两个共轭复根（抛物线与 x 轴不相交）。
- 判别式 b² − 4ac 是对一元二次方程的根进行分类的最快方法。
求解一元二次方程的方法
你可以通过因式分解、配方法或求根公式求解一元二次方程。求根公式对任意 a、b、c 始终有效，这正是本计算器使用它的原因。
关键二次公式
标准形式
ax² + bx + c = 0, a ≠ 0
示例：x² − 3x + 2 = 0 中 a = 1，b = −3，c = 2。
求根公式
x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a
直接根据系数给出两个根。
判别式
Δ = b² − 4ac
决定根是实根、重根还是复根。
复根
x = (−b ÷ 2a) ± (√(−(b² − 4ac)) ÷ 2a) i
判别式为负时使用；两个根互为共轭。
抛物线的顶点
(−b ÷ 2a, c − b² ÷ 4a)
y = ax² + bx + c 的转折点。
对称轴
x = −b ÷ 2a
过顶点的竖直线。
一元二次方程计算器常见问题
Q01如何求解一元二次方程？
将方程写成标准形式 ax² + bx + c = 0，然后套用求根公式 x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a。算出判别式 b² − 4ac，开平方根，再求出两个 x 值。本计算器会为你完成所有这些步骤、套用求根公式并展示计算过程，让你学会如何求解一元二次方程。
Q02求根公式是什么？
求根公式是 x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a。它直接根据系数 a、b、c（a 不为零）给出任意一元二次方程 ax² + bx + c = 0 的两个根。± 符号表示分别取加号和减号各算一次，得到两个根。
Q03什么是判别式，它能告诉我什么？
判别式是 b² − 4ac，即求根公式中根号下的表达式。若为正，方程有两个不同的实根；若为零，有一个重实根；若为负，有两个共轭复根。判别式计算器可在你求解方程之前对根进行分类。
Q04什么是一元二次方程的复根？
当判别式 b² − 4ac 为负时，平方根是虚数，因此根为写作 p ± q i 的复数。实部 p 等于 −b ÷ 2a，虚部大小 q 等于 √(−(b² − 4ac)) ÷ 2a。这两个复根互为共轭，本计算器会自动将它们格式化。
Q05为什么 a 不能为零？
若 a 等于零，则没有 x² 项，方程 ax² + bx + c = 0 退化为一次方程 bx + c = 0，不再是一元二次方程。求根公式要除以 2a，因此 a = 0 没有定义。当 a 为零时本计算器会返回错误。
Q06如何求顶点和对称轴？
抛物线 y = ax² + bx + c 的顶点位于 x = −b ÷ 2a，将该 x 代回即可求出其 y 坐标，得到 y = c − b² ÷ 4a。对称轴是过顶点的竖直线 x = −b ÷ 2a。计算器会为每个方程报告两者。
Q07可以输入小数和负系数吗？
可以。a、b、c 都能输入整数、小数和负数。计算器会全部解析，因此任何一元二次方程——包括系数为分数或负数的——都能用求根公式求解。
Q08我的数据会被发送到服务器吗？
不会。一元二次方程求解器使用 JavaScript 完全在你的浏览器中运行。你的系数绝不会被上传或存储到任何地方，因此可放心用于任何作业或工作问题。
Q09这款一元二次方程计算器免费吗？
是的，完全免费，没有任何限制、无需注册，也没有付费版本。想用求根公式计算器求解多少个一元二次方程都可以。